Question

[Trần Mỹ Hạnh]

cho đường tròn (O,R) điểm M nằm ngoài đường tròn . kẻ tiếp tuyến MA, MB với đường tròn . giả sử R=3cm, OM= 5cm. tính chu vi tứ giác AMBO, diện tích tam goiacs AMB

Answer 1

[Lê Song Phương]

Xét đường tròn (O;R) có A, B \(\in\left(O;R\right)\)\(\Rightarrow OA=OB=R\)

Mà \(R=3cm\left(gt\right)\Rightarrow OA=OB=3cm\)

Vì MA là tiếp tuyến tại A của (O) (gt) \(\Rightarrow MA\perp OA\)tại A \(\Rightarrow\Delta OMA\)vuông tại A

\(\Rightarrow OM^2=OA^2+AM^2\left(đlPytago\right)\)\(\Rightarrow AM^2=OM^2-OA^2\Rightarrow AM=\sqrt{OM^2-OA^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4\left(cm\right)\)

Xét đường tròn (O) có hai tiếp tuyến tai A và B cắt nhau tại M (gt) \(\Rightarrow MA=MB\)(tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Mà \(MA=4cm\left(cmt\right)\Rightarrow MB=4cm\)

Chu vi tứ giác AMBO là \(MA+MB+OA+OB=4+4+3+3=14\left(cm\right)\)

Gọi H là giao điểm của OM và AB.

Ta có \(MA=MB\left(cmt\right)\)\(\Rightarrow\)M nằm trên đường trung trực của AB. (1)

Lại có \(OA=OB\left(=R\right)\)\(\Rightarrow\)O nằm trên đường trung trực của AB. (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\)OM lả đường trung trực của AB. \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}AH=BH=\frac{AB}{2}\\AH\perp OM\left(H\in OM\right)\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\)AH là đường cao của \(\Delta OMA\)

Xét \(\Delta OMA\)vuông tại A có đường cao AH (cmt) \(\Rightarrow AH.OM=MA.OA\left(htl\right)\)

\(\Rightarrow AH=\frac{MA.OA}{OM}=\frac{4.3}{5}=\frac{12}{5}=2,4\left(cm\right)\)

\(\Rightarrow AB=2AH=2.2,4=4,8\left(cm\right)\)

Xét tiếp \(\Delta OMA\)vuông tại A có đường cao AH \(\Rightarrow MA^2=MH.MO\left(htl\right)\)

\(\Rightarrow MH=\frac{MA^2}{MO}=\frac{4^2}{5}=\frac{16}{5}=3,2\left(cm\right)\)

Diện tích \(\Delta MAB\)là \(S_{MAB}=\frac{1}{2}AB.MH=\frac{1}{2}.4,8.3,2=7,68\left(cm^2\right)\)