Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Sửa đề: A,B,O,C cùng thuộc 1 đường tròn
Xét tứ giác ABOC có
\(\widehat{ABO}\) và \(\widehat{ACO}\) là hai góc đối
\(\widehat{ABO}+\widehat{ACO}=180^0\left(90^0+90^0=180^0\right)\)
Do đó: ABOC là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)
hay A,B,O,C cùng thuộc một đường tròn(đpcm)
⇔A,B,O,C∈(O')
Ta có: ΔABO vuông tại B(AB⊥OB tại B)
nên B nằm trên đường tròn đường kính AO(Định lí tam giác vuông)(1)
Ta có: ΔACO vuông tại C(OC⊥AC tại C)
nên C nằm trên đường tròn đường kính AO(Định lí tam giác vuông)(2)
Từ (1) và (2) suy ra B và C cùng nằm trên đường tròn đường kính AO
⇔B,C,A,O cùng nằm trên đường tròn đường kính AO
mà B,C,A,O∈(O')(cmt)
nên O' là tâm của đường tròn đường kính AO
hay O' là trung điểm của AO
⇔Bán kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABOC là OB
b) Xét (O) có
\(\widehat{ACM}\) là góc tạo bởi tia tiếp tuyến AC và dây cung MC
\(\widehat{MNC}\) là góc nội tiếp chắn cung \(\stackrel\frown{MC}\)
Do đó: \(\widehat{ACM}=\widehat{MNC}\)(Hệ quả của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung)
hay \(\widehat{ACM}=\widehat{ANC}\)
Xét ΔAMC và ΔACN có
\(\widehat{ACM}=\widehat{ANC}\)(cmt)
\(\widehat{MAC}\) chung
Do đó: ΔAMC∼ΔACN(g-g)
⇔\(\dfrac{AM}{AC}=\dfrac{AC}{AN}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)
hay \(AC^2=AM\cdot AN\)(3)
Xét (O) có
AB là tiếp tuyến có B là tiếp điểm(gt)
AC là tiếp tuyến có C là tiếp điểm(gt)
Do đó: AB=AC(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Suy ra: \(AB^2=AC^2\)(4)
Từ (3) và (4) suy ra \(AB^2=AC^2=AM\cdot AN\)(đpcm)
a: Xét tứ giác ABOC có
góc OBA+góc OCA=180 độ
=>ABOC là tứ giác nội tiếp
b: ΔODE cân tại O
mà OH là đường trung tuyến
nên OH vuông góc DE
=>OH vuông góc HA
=>H nằm trên (I)
góc BHA=góc BOA
góc CHA=góc COA
mà góc BOA=góc COA
nên góc BHA=góc CHA
=>HA là phân giác của góc BHC
1. Để chứng minh cung DE có số đo không đổi, ta cần chứng minh góc \(\angle BOC\) có số đo không đổi. Thực vậy, theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, OB và OC là phân giác ngoài của tam giác ABC. Ta có
\(\angle BOC=180^{\circ}-\frac{\angle MBC}{2}-\frac{\angle NCB}{2}=\frac{\angle ABC}{2}+\frac{\angle ACB}{2}=90^{\circ}-\frac{\angle BAC}{2}=90^{\circ}-\frac{a}{2}\)
Do đó góc \(\angle BOC\) có số đo không đổi. Suy ra cung DE có số đo không đổi.
2. Do CD vuông góc với AB nên BC,BD là đường kính của hai đường tròn (O) và (O'). Suy ra
\(\angle CFB=\angle DEB=90^{\circ}\to\angle CFD=\angle CED=90^{\circ}.\) Vậy tứ giác CDEF nội tiếp. Do đó \(\angle ECF=\angle EDF\to\angle FAB=\angle ECF=\angle EDF=\angle EDB\)
Vậy AB là phân giác của góc AEF.
3. Đề bài có chút nhầm lẫn, "kẻ \(IH\perp BC\) mới đúng. Do tam giác ABC nhọn và I nằm trong nên các điểm H,K,L nằm trên các cạnh của tam giác. Sử dụng bất đẳng thức \(a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\left(a+b\right)^2,\) ta suy ra \(AL^2+BL^2\ge\frac{1}{2}\left(AL+BL\right)^2=\frac{1}{2}AB^2.\) Tương tự ta cũng có \(BH^2+CH^2\ge\frac{1}{2}BC^2,KC^2+KA^2\ge\frac{1}{2}AC^2.\) Mặt khác theo định lý Pitago
\(AL^2+BH^2+CK^2=\left(IA^2-IL^2\right)+\left(IB^2-IH^2\right)+\left(IC^2-IK^2\right)\)
\(=\left(IA^2-IK^2\right)+\left(IB^2-IL^2\right)+\left(IC^2-IH^2\right)\)
\(=BL^2+CH^2+AK^2.\)
Thành thử \(AL^2+BH^2+CK^2=\frac{\left(AL^2+BL^2\right)+\left(BH^2+CH^2\right)+\left(CK^2+AK^2\right)}{2}\ge\frac{AB^2+BC^2+CA^2}{2}.\)
Dấu bằng xảy ra khi \(AL=BL,BH=CH,CK=AK\Leftrightarrow I\) là giao điểm ba đường trung trực.
Bạn tự vẽ hình nhá.
Vì E là trung điểm MN => OE vuông góc MN => góc OEA =90độ
Xét tứ giác: AEOC có góc AEO + góc ACO=180độ => AEOC nội tiếp => A, E, O, C cùng thuộc 1 đường tròn
Xét tứ giác: ABEO có góc ABO + góc AEO=90độ => ABEO nội tiếp => A, E, O, B cùng thuộc 1 đường tròn
=> A, B, C, O, E cùng thuộc 1 đường tròn.
b, Ta có: góc BNC= 1/2 góc BOC (góc nội tiếp bằng 1/2 góc ở tâm) => 2.góc BNC= góc BOC
MÀ góc ABOC nội tiếp (do góc ABO+ góc ACO = 180độ) => gó BAC + góc BOC=180độ
=> 2.góc BNC+ góc BAC= 180độ
c, ta có: AMN là cát tuyến, AB là tiếp tuyến của (O) => AB2=AM.AN
Lại có tg AHB đồng dạng tg ABO (g-g) => \(\frac{AH}{AB}=\frac{AB}{AO}\)=> AB2=AH.AO
=> AH.AO= AM.AN => \(\frac{AM}{AH}=\frac{AO}{AN}\)
Và góc MAH=góc OAN => tg MAH đồng dạng tg OAN (c-g-c) => góc AMH = góc AON
Mà góc AMH + góc HMN =180độ
=> góc AON + góc HMN =180độ
=> tứ giác MNOH nội tiếp
góc CEB=góc ACB(=1/2*sđ cung BC)
I là trung điểm của MN nên OI vuông góc MN
=>góc OIM=góc OIA=90 độ
góc OCA+góc OIA=180 độ
=>ACOI nội tiếp
mà ACOB nội tiếp
nên A,B,I,O,C cùng thuộc 1 đường tròn
=>góc AIB=góc ACB=góc EIN
=>góc CEB=góc EIN
=>MN//EC
=>AN//EC
Sao góc AIB=góc ACB mà lại suy ra góc CEB=góc EIN vậy ạ