K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

NV
7 tháng 5 2023

a.

Do A là điểm chính giữa cung BC \(\Rightarrow AB=AC\Rightarrow\Delta ABC\) vuông cân tại A

\(\Rightarrow AO\perp BC\)

\(\Rightarrow S_{ABC}=\dfrac{1}{2}AO.BC=\dfrac{1}{2}R.2R=R^2\)

b.

Tứ giác ABCM nội tiếp (O) \(\Rightarrow\widehat{ABC}+\widehat{AMC}=180^0\) (1)

Lại có \(\widehat{ACD}+\widehat{ACB}=180^0\) (2)

Mà \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\) (\(\Delta ABC\) vuông cân tại A) (3)

(1);(2);(3) \(\Rightarrow\widehat{AMC}=\widehat{ACD}\)

Xét hai tam giác  AMC và ACD có:

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{CAD}\text{ chung}\\\widehat{AMC}=\widehat{ACD}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\Delta AMC\sim\Delta ACD\left(g.g\right)\) (4)

\(\Rightarrow\dfrac{AM}{AC}=\dfrac{AC}{AD}\Rightarrow AM.AD=AC^2\)

Do \(\Delta ABC\) vuông cân \(\Rightarrow AC^2=\dfrac{1}{2}BC^2=2R^2\Rightarrow AM.AD=2R^2\) không đổi

Gọi G là tâm đường tròn ngoại tiếp MCD

Từ (4) \(\Rightarrow\widehat{ADC}=\widehat{MCA}\)

Mà \(\widehat{ADC}=\dfrac{1}{2}\widehat{MGC}\) (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung CM)

\(\Rightarrow\widehat{ACG}=\widehat{MCA}+\widehat{MCG}=\dfrac{1}{2}\widehat{MGC}+\dfrac{1}{2}\left(180^0-\widehat{MGC}\right)=90^0\)

\(\Rightarrow AC\perp GC\)

Hay tâm G của đường tròn ngoại tiếp MCD luôn nằm trên đường thẳng cố định đi qua C và vuông góc AC

NV
7 tháng 5 2023

loading...

20 tháng 5 2021

Không có mô tả.

20 tháng 7 2019

A B C O D E S F N M I

a) Bổ đề: Xét tam giác ABC cân tại A, một điểm M bất kì sao cho ^AMB = ^AMC. Khi đó MB = MC.

Bổ đề chứng minh rất đơn giản, không trình bày ở đây.

Áp dụng vào bài toán: Vì E là điểm chính giữa (BC nên EB = EC = ED => \(\Delta\)BED cân tại E

Ta có ^BAE = ^CAE (2 góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) hay ^BAE = ^DAE

Áp dụng bổ đề vào \(\Delta\)BED ta được AB = AD. Khi đó AE là trung trực của BD => AE vuông góc BD

Lại có \(\Delta\)BAD ~ \(\Delta\)CFD (g.g). Mà AB = AD nên FD =FC. Từ đó EF vuông góc DC

Xét \(\Delta\)AEF có FD vuông góc AE (cmt), AD vuông góc EF (cmt) => D là trực tâm \(\Delta\)AEF (đpcm).

b) Gọi DN cắt EC tại I. Ta dễ thấy ^MDI = ^MDN = ^MBN = ^MBC = ^MEC = ^MEI

Suy ra bốn điểm D,E,M,I cùng thuộc một đường tròn => ^EMD = ^EID = 900

Nếu ta gọi MD cắt cung lớn BC của (O) tại S thì ^EMS chắn nửa (O) hay ES là đường kính của (O)

Mà E là điểm chính giữa cung nhỏ BC nên S là điểm chính giữa cung lớn BC

Do đó S là điểm cố định (Vì B,C cố định). Vậy MD luôn đi qua S cố định (đpcm).

1 tháng 3 2020

https://hoidap247.com/cau-hoi/13291

các bạn giúp mình với , please !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!