Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cô-si ngược dấu:
\(\sqrt{x-2010}=\frac{1}{2}\sqrt{4(x-2010)}\leq \frac{4+(x-2010)}{4}\)
\(\Rightarrow \sqrt{x-2010}-1\leq \frac{4+(x-2010)}{4}-1=\frac{x-2010}{4}\)
\(\Rightarrow \frac{\sqrt{x-2010}-1}{x-2010}\leq \frac{1}{4}\)
Hoàn toàn tương tự với những phân thức còn lại:
\(\Rightarrow \frac{\sqrt{x-2010}-1}{x-2010}+\frac{\sqrt{y-2011}-1}{y-2011}+\frac{\sqrt{z-2012}-1}{z-2012}\leq \frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} x-2010=4\\ y-2011=4\\ z-2012=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=2014\\ y=2015\\ z=2016\end{matrix}\right.\)
\(\dfrac{\sqrt{x-2009}-1}{x-2009}+\dfrac{\sqrt{y-2010}-1}{y-2010}+\dfrac{\sqrt{z-2011}-1}{z-2011}=\dfrac{3}{4}\)\(\left(\left\{{}\begin{matrix}x>2009\\y>2010\\z>2011\end{matrix}\right.\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{4}-\dfrac{\sqrt{x-2009}-1}{x-2009}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{\sqrt{y-2010}-1}{y-2010}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{\sqrt{z-2011}-1}{z-2011}=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x-2009-4\sqrt{x-2009}+4}{x-2009}+\dfrac{y-2010-4\sqrt{y-2010}+4}{y-2010}+\dfrac{z-2011-4\sqrt{z-2011}+4}{z-2011}=0\)
Nhận xét: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{\left(\sqrt{x-2009}-2\right)^2}{x-2009}\ge0\\\dfrac{\left(\sqrt{y-2010}-2\right)^2}{y-2010}\ge0\\\dfrac{\left(\sqrt{z-2011}-2\right)^2}{z-2011}\ge0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x-2009}-2=0\\\sqrt{y-2010}-2=0\\\sqrt{z-2011}-2=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2013\\y=2014\\z=2015\end{matrix}\right.\)
Vậy \(\left(x;y;z\right)=\left(2013;2014;2015\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{4\sqrt{x-2009}-4}{x-2009}-1+\dfrac{4\sqrt{x-2009}-4}{x-2009}-1+\dfrac{4\sqrt{x-2009}-4}{x-2009}-1=0\)\(\Leftrightarrow-\dfrac{\left(\sqrt{x-2009}-2\right)^2}{x-2009}-\dfrac{\left(\sqrt{y-2010}-2\right)^2}{y-2010}-\dfrac{\left(\sqrt{z-2011}-2\right)^2}{z-2011}=0\)
VT <=0 đẳng thức khi và chỉ khi \(\left\{{}\begin{matrix}x-2009=4=>x=2013\\y=2014\\z=2015\end{matrix}\right.\)
Đặt a = \(\sqrt{x-2009}\)
b = \(\sqrt{y-2010}\)
c = \(\sqrt{z-2011}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a-1}{a^2}+\dfrac{b-1}{b^2}+\dfrac{c-1}{c^2}=\dfrac{3}{4}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c}-\dfrac{1}{c^2}=\dfrac{3}{4}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{a^2}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{b^2}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{c}-\dfrac{1}{c^2}-\dfrac{1}{4}=0\)
\(\Leftrightarrow-(\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{2})^2-\left(\dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{2}\right)^2-\left(\dfrac{1}{c}-\dfrac{1}{2}\right)^2=0\)
Dấu = xảy ra khi
a = 2
b = 2
c = 2
\(\Leftrightarrow\sqrt{x-2009}=2\)
\(\sqrt{y-2010}=2\)
\(\sqrt{z-2011}=2\)
\(\Leftrightarrow x-2009=4\)
\(y-2010=4\)
\(z-2011=4\)
=> x = 2013
y = 2014
z = 2015
Lời giải:
Ta có $$\frac{\sqrt{x-2009}-1}{x-2009}+\frac{\sqrt{y-2010}-1}{y-2010}+\frac{\sqrt{z-2011}-1}{z-2011}=\frac{3}{4} \Leftrightarrow \left ( \frac{1}{\sqrt{x-2009}}-\frac{1}{2} \right )^2+\left ( \frac{1}{\sqrt{y-2010}}-\frac{1}{2} \right )^2+\left ( \frac{1}{\sqrt{z-2011}}-\frac{1}{2} \right )^2=0$$
$$\Rightarrow x=2013,y=2014,z=2015$$ 
mk nhớ lm bài tương tự thế này r` bn chịu khó mở ra xem lại ở đây olm.vn/?g=page.display.showtrack&id=424601&limit=260, ấn vào chữ Trang tiếp theo để tìm thêm nhé
Câu 1:
\(A=21\left(a+\frac{1}{b}\right)+3\left(b+\frac{1}{a}\right)=21a+\frac{21}{b}+3b+\frac{3}{a}\)
\(=(\frac{a}{3}+\frac{3}{a})+(\frac{7b}{3}+\frac{21}{b})+\frac{62}{3}a+\frac{2b}{3}\)
Áp dụng BĐT Cô-si:
\(\frac{a}{3}+\frac{3}{a}\geq 2\sqrt{\frac{a}{3}.\frac{3}{a}}=2\)
\(\frac{7b}{3}+\frac{21}{b}\geq 2\sqrt{\frac{7b}{3}.\frac{21}{b}}=14\)
Và do $a,b\geq 3$ nên:
\(\frac{62}{3}a\geq \frac{62}{3}.3=62\)
\(\frac{2b}{3}\geq \frac{2.3}{3}=2\)
Cộng tất cả những BĐT trên ta có:
\(A\geq 2+14+62+2=80\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=3$
Câu 2:
Bình phương 2 vế ta thu được:
\((x^2+6x-1)^2=4(5x^3-3x^2+3x-2)\)
\(\Leftrightarrow x^4+12x^3+34x^2-12x+1=20x^3-12x^2+12x-8\)
\(\Leftrightarrow x^4-8x^3+46x^2-24x+9=0\)
\(\Leftrightarrow (x^2-4x)^2+6x^2+24(x-\frac{1}{2})^2+3=0\) (vô lý)
Do đó pt đã cho vô nghiệm.