Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
*) Bài toán thuận:
Qua N kẻ đường thẳng song song với AB cắt cạnh BC ở điểm P, nối PM.
Gọi D; E lần lượt là trung điểm của AB và AC. I là trg điểm MN.
Ta có: NP // AB => ^NPC=^ABC (Đồng vị). Mà ^ABC = ^ACB => ^NPC = ^ACB = ^NCP
=> \(\Delta\)PNC cân tại N => CN=PN. Lại có: AM=CN => AM=PN
Xét tứ giác AMPN: AM=PN; AM // PN => Tứ giác AMPN là hình bình hành
Thấy I là trung điểm của đường chéo MN => I cũng là trung điểm của AP.
Xét \(\Delta\)PAC: I và E lần lượt là trg điểm của AP và AC => EI là đường trung bình \(\Delta\)PAC
=> IE // PC hay IE // BC. Tương tự ID//BC => D;I;E thẳng hàng (Tiên đề Ơ-clit)
=> I nằm trên đường trung bình DE của \(\Delta\)ABC cố định.
*) Bài toán đảo: Cho tam giác ABC cân A có M và N thuộc AB và AC sao cho AM=CN. MN cắt đường trung bình DE của tam giác ABC ở điểm I. CMR I là trung điểm của MN ?
Qua M kẻ đường thẳng // AC cắt DE tại Q .
Ta có: AB=AC => 1/AAB=1/2AC => AD=CE. Mà AM=CN => AD-AM = CE - CN => DM=EN
Dễ thấy \(\Delta\)DMQ cân tại M => DM=QM => QM=EN.
Xét \(\Delta\)MIQ và \(\Delta\)NIE: ^IMQ=^INE; ^IQM=^IEN (Do MQ//AC); QM=EN
=> \(\Delta\)MIQ=\(\Delta\)NIE (g.c.g) => IM=IN (2 cạnh tương ứng) => I là trung điểm MN (đpcm).
*) Vậy khi 2 điểm M và N di động trên AB và AC sao cho AM=CN thì trung điểm của MN luôn chạy trên đường trung bình của tam giác ABC.
Cậu tự vẽ hình nhé
a, kẻ MK vuông BC, NG vuông BC
Tam g ABC cân => g ABC= g ACB
Lại có g ACB = g GCN (dd)
=> g GCN = g ABC=g MBK
Xét tg MBK và tg NCG
g MKB= g NGC =90°
g MBK = g NCG (cmt)
MB= CN(gt)
=> tg MBK= tg NCG ( ch-gn)
=> MK=NG (2 cạnh tương ứng)
Vì MK vuông BC, NG vuông BC => NG// MK
=> g GNM = g KMN ( so le trong )
Xét tg MKD VÀ TG NGD
g MKD = g DGN = 90°
g KMD = gDNG ( cmt)
Mk= GN (cmt)
=> tg MKD = tg NGD (_cgv-gn)
=> MD= ND (2 ctu)
=> D là td MN ( dpcm)
Xét tam giác cân ABC , AH là đường cao => AH là trung trực
Lại có E thuộc AH => EC= EB
Xét tg ABE và tg ACE
AB=AC (tg ABC cân)
BE= EC (cmt)
AE cạnh chung
=> tg ABE = tg ACE (ccc)
=> g ABE = g ACE ( 2 góc tương ứng)(1)
Lại có DE là trung trực MN => ME = NE
Xét tg MBE và tg NCE
MB = NC ( gt)
ME = NE (cmt)
BE = CE (cmt)
=> tg MBE = tg NCE (ccc)
=> g ECN = g EBM (2 góc t u ) (2)
Từ 1), 2) => g ECA = g ECN
Lại có 2 góc này bù nhau
=>g ACE= 90°= g ABE
Xét tg ABE vuông
+ theo đl pytago:
=> AE = √( ab2+bE2)= √( 62+4,52)= 7,5 (cmcm)
+ BH là đcao, theo hệ thức lượng trong tg vuông
=>+ AB2= AH.AE => AH= 62:7,5=4,8 (cmcm)
+ 1/(BH2)= 1/(AB2)+1/(BE2) => BH = √(1:( (1/62)+(1/4,52))= 3,6(ccmcm)
=> BC= 3,6.2= 7,2 (cm)
=> dt tg ABC có đcao AH là 7,2.4,8.1/2= 28,08(cm2)
Vậy S tg ABC = 28,08 cm2
A, DỄ DÀNG NHẬN THẤY AF VÀ BE LÀ CÁC TIA PHÂN GIÁC ( DO TAM GIÁC ABC ĐỀU)
=> CO LÀ TIA PHÂN GIÁC CỦA GÓC ACB
=> ACO = 30
DỄ DÀNG TÍNH ĐƯỢC OBC = 30
=> OBC = ACO
DO TAM GIÁC ABC ĐỀU => O LÀ GIAO ĐIỂM CỦA 3 ĐƯỜNG TRUNG TRỰC
=> OB = OC
TỪ ĐÓ DỄ DÀNG CHỨNG MINH ĐƯỢC TAM GIÁC OBM = TAM GIÁC OCN ( C.G.C)
=> OM = ON
B, KẺ FH VUÔNG GÓC VỚI EF, NQ VUÔNG GÓC VỚI EF
DO CF = AE , CN = BM
=> MF = NE
LẠI CÓ GÓC NEQ = CEF = CFE = 60
=> NEQ = CFE
TỪ ĐÓ DỄ DÀNG CHỨNG MINH ĐƯỢC TAM GIÁC NQE = TAM GIÁC MHF ( G.C.G)
=> NQ = MH
TA CÓ NE SONG SONG VỚI MH , NQ = MH
=> MQNH LÀ HÌNH BÌNH HÀNH
=> QH CẮT MN TẠI TRUNG ĐIỂM CỦA MN
MÀ I LÀ TRUNG ĐIỂM CỦA MN
=> I THUỘC HQ
=> I THUỘC EF
=> ĐPCM
C, BÀI NÀY TỰ VẼ HÌNH NHÉ
TỪ M,N KỂ ĐƯỜNG VUÔNG GÓC VỚI AB CẮT AB TẠI H VÀ K. TỪ M KỂ ĐƯỜNG VUÔNG GÓC VỚI NK CẮT NK TẠI Q
=> MN LỚN HƠN HOẶC BẰNG MQ
MÀ MQ =HK
=> MN LỚN HƠN HOẶC BẰNG HK
MẶT KHÁC KA + HB = 1/2 AN + 1/2 BM = 1/2 AB = 1/2 BC = 1/2 AC
=> HK = 1/2 AB
=> MN LỚN HƠN HOẶC BẰNG 1/2AB
DẤU BẰNG XẢY RA KHI VÀ CHỈ KHI M VÀ N LÀ TRUNG ĐIỂM CỦA AC VÀ BC
( MÌNH MỚI HỌC LỚP 7)
Nhac cau 3
Tu M,N ke duong vuong goc voi AB cat AB tai H va K.Tu M ke duong vuong goc voi NK cat NK tai Q
=>MN\(_{\ge}\)MQ. Ma MQ=HK
=>MN\(\ge\)HK
Mat \(\ne\)KA+HB=1/2AN+1/2BM=1/2AB=1/2BC=1/2CA
=>HK=1/2AB
=>MN\(\ge\)1/2AB.dau bang xay ra khi M,N la trung diem cua cac canh
a) xét tam giác BOM và tam giác CON ta có
BM=CN (gt)
OB=OC=R
\(\widehat{OBM}=\widehat{OCN}=30^0\)(do tam giác ABC đều )
=> tam giác BOM = tam giác CON(c.g.c)
suy ra OM=ON hay tam giác OMN cân tại O , do I là trung điểm của MN
suy ra \(OI\perp MN\Rightarrow\widehat{OIM}=\widehat{OHM}=90^0\)nên tứ giác OMHI nội tiếp (có 2 đỉnh liên tiếp I,H cùng nhìn OM góc =90 độ )
b) Do điểm P nằm trên trung trực cạnh MN nên
PM=PN (1)
ta có \(180^0=\widehat{OMB}+\widehat{OMC}=\widehat{OMB}+\widehat{ONC}\)
=> tứ giác OMNC nội tiếp ( tổng 2 góc đối = 180 độ )
nên \(\hept{\begin{cases}\widehat{MON}=180^0-\widehat{NCM}=120^0\\\widehat{POM}=\widehat{PON}=120^0\end{cases}}\)
suy ra \(\widehat{POM}+\widehat{PBM}=180^0=>\)tứ giác PBMO nội tiếp nên \(\widehat{OPM}=\widehat{OBM}=30^0\)
CM tương tự ta cx có \(\widehat{OPN}=\widehat{OAN}=30^0=>\widehat{MPN}=60^0\)(2)
=> từ (1) zà (2) ,tam giác PMN đều
c) Từ CM ở câu a ,b
=>\(\widehat{OMN}=\widehat{OHI}=\widehat{OCN}=30^0\Rightarrow HI//AB\)
gọi K là trung điểm của AC thì H,I ,K thẳng hàng
tam giác IAB có AB ko đổi nên chi vi tam giác nhỏ nhất khi IA+IB nhỏ nhất . ĐƯờng thẳng HI cố định . Gọi D là điểm đối xứng B qua HI thì điểm D có định , suy ra độ dài AD ko đổi
ta có \(IB=ID\Rightarrow IA+IB=IA+ID\ge AD\)
dấu = xảy ra khi zà chỉ khi A,D ,I thẳng hàng.
Tức đểm I chính là giao điểm của AD và HK
Mặt khác ta dễ CM đc AHKD là hình bình hành
Nên dấu "=" xảy ra khi I là trung điểm của HK , khi đó \(M\equiv H\)
zậy ...