Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a/
\(u_n=\dfrac{1}{\left(2-1\right)\left(2+1\right)}+\dfrac{1}{\left(3-1\right)\left(3+1\right)}+...+\dfrac{1}{\left(n-1\right)\left(n+1\right)}\)
\(u_n=\dfrac{1}{1.3}+\dfrac{1}{2.4}+\dfrac{1}{3.5}+\dfrac{1}{4.6}+...+\dfrac{1}{\left(n-2\right)n}+\dfrac{1}{\left(n-1\right)\left(n+1\right)}\)
\(u_n=\dfrac{1}{2}\left(1-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}+...+\dfrac{1}{n-2}-\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n+1}\right)\)
\(u_n=\dfrac{1}{2}\left(1+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\right)=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\right)\)
\(\Rightarrow lim\left(u_n\right)=lim\left(\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\right)\right)=\dfrac{1}{2}.\dfrac{3}{2}=\dfrac{3}{4}\)
b/ \(u_n=\dfrac{1}{1^2+3}+\dfrac{1}{2^2+6}+...+\dfrac{1}{n^2+3n}=\dfrac{1}{1.4}+\dfrac{1}{2.5}+...+\dfrac{1}{n\left(n+3\right)}\)
\(u_n=\dfrac{1}{3}\left(1-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{7}+...+\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+3}\right)\)
\(u_n=\dfrac{1}{3}\left(1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{1}{n+2}-\dfrac{1}{n+3}\right)\)
\(\Rightarrow lim\left(u_n\right)=lim\left(\dfrac{1}{3}\left(1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{1}{n+2}-\dfrac{1}{n+3}\right)\right)\)
\(\Rightarrow lim\left(u_n\right)=\dfrac{1}{3}\left(1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}\right)=\dfrac{11}{18}\)
Xét khai triển:
\(\left(x+1\right)^n=C_n^0+C_n^1x+C_n^2x^n+C_n^3x^3+...+C_n^nx^n\)
Đạo hàm 2 vế:
\(n\left(x+1\right)^{n-1}=C_n^1+2C_n^2x+3C_n^3x^2+...+nC_n^nx^{n-1}\)
Thay \(x=1\) vào ta được:
\(n.2^{n-1}=C_n^1+2C_n^2+3C_n^3+...+nC_n^2=256n\)
\(\Rightarrow2^{n-1}=256=2^8\Rightarrow n=9\)
Câu 2:
\(\left(x-2\right)^{80}=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+...+a_{80}x^{80}\)
Đạo hàm 2 vế:
\(80\left(x-2\right)^{79}=a_1+2a_2x+3a_3x^2+...+80a_{80}x^{79}\)
Thay \(x=1\) ta được:
\(80\left(1-2\right)^{79}=a_1+2a_2+3a_3+...+80a_{80}\)
\(\Rightarrow S=80.\left(-1\right)^{79}=-80\)
16.
\(y'=\frac{\left(cos2x\right)'}{2\sqrt{cos2x}}=\frac{-2sin2x}{2\sqrt{cos2x}}=-\frac{sin2x}{\sqrt{cos2x}}\)
17.
\(y'=4x^3-\frac{1}{x^2}-\frac{1}{2\sqrt{x}}\)
18.
\(y'=3x^2-2x\)
\(y'\left(-2\right)=16;y\left(-2\right)=-12\)
Pttt: \(y=16\left(x+2\right)-12\Leftrightarrow y=16x+20\)
19.
\(y'=-\frac{1}{x^2}=-x^{-2}\)
\(y''=2x^{-3}=\frac{2}{x^3}\)
20.
\(\left(cotx\right)'=-\frac{1}{sin^2x}\)
21.
\(y'=1+\frac{4}{x^2}=\frac{x^2+4}{x^2}\)
22.
\(lim\left(3^n\right)=+\infty\)
11.
\(\lim\limits_{x\rightarrow1^+}\frac{-2x+1}{x-1}=\frac{-1}{0}=-\infty\)
12.
\(y=cotx\Rightarrow y'=-\frac{1}{sin^2x}\)
13.
\(y'=2020\left(x^3-2x^2\right)^{2019}.\left(x^3-2x^2\right)'=2020\left(x^3-2x^2\right)^{2019}\left(3x^2-4x\right)\)
14.
\(y'=\frac{\left(4x^2+3x+1\right)'}{2\sqrt{4x^2+3x+1}}=\frac{8x+3}{2\sqrt{4x^2+3x+1}}\)
15.
\(y'=4\left(x-5\right)^3\)
* Xét tử số: Ta thấy 1, 2, 3, 4, ..., n là một dãy số thuộc cấp số cộng có n số hạng với
u 1 = 1 ; d= 1 .
Tổng n số hạng của cấp số cộng: S n = u 1 + u n n 2 = 1 + n n 2 .
* Xét mẫu số: Ta thấy 1 , 3 , 3 2 , 3 3 , ... , 3 n là một dãy số thuộc cấp số nhân có n + 1 số hạng với u 1 = 1 ; q = 3
Tổng (n+ 1) số hạng của cấp số nhân: S n + 1 = u 1 . 1 − q n + 1 1 − q = 1 − 3 n + 1 1 − 3 = 3 n + 1 − 1 2 .
⇒ u n = n 3 n + 1 − 1 = n 3.3 n − 1
Bằng quy nạp ta luôn có n < 2 n , ∀ n ∈ ℕ * và 3 n > 1 , ∀ n ∈ ℕ *
⇒ u n = n 3.3 n − 1 < n 3 n < 2 n 3 n = 2 3 n
Vì lim 2 3 n = 0 nên lim u n = 0.
Chọn đáp án A