K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

NV
2 tháng 8 2020

Do vai trò của M; N như nhau, ko mất tính tổng quát, giả sử \(y\ge x\)

Từ M kẻ MH vuông góc AC \(\Rightarrow\) H nằm giữa A và N

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}MH=AM.sin60^0=\frac{x\sqrt{3}}{2}\\AH=AM.cos60^0=\frac{x}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow NH=AN-AH=y-\frac{x}{2}\)

Pitago: \(MN^2=MH^2+NH^2=\frac{3}{4}x^2+\left(y-\frac{x}{2}\right)^2\)

\(=x^2+y^2-xy\)

Mặt khác:

\(\frac{AM}{MB}+\frac{AN}{NC}=1\Leftrightarrow\frac{x}{a-x}+\frac{y}{a-y}=1\)

\(\Leftrightarrow x\left(a-y\right)+y\left(a-x\right)=\left(a-x\right)\left(a-y\right)\)

\(\Leftrightarrow2ax+2ay-2xy=a^2+xy\)

\(\Leftrightarrow-xy=a^2+2xy-2ax-2ay\)

Thay lên trên:

\(MN^2=x^2+y^2-xy=x^2+y^2+a^2+2xy-2ax-2ay\)

\(\Leftrightarrow MN^2=\left(a-x-y\right)^2\Rightarrow MN=a-x-y\)

20 tháng 1 2020

a) Kẻ MH ⊥ AC ( H thuộc AC )

+ ΔAMH nửa đều \(\Rightarrow AM=2AH\)

+ ΔMHN vg tại H \(\Rightarrow MN^2=MH^2+NH^2=AM^2-AH^2+NH^2\)

\(=x^2+\left(AH^2+HN^2\right)-2AH^2=x^2+\left(AH+NH\right)^2-2AH^2-2AH\cdot NH\)

\(=x^2+y^2-2AH\left(AH+NH\right)=x^2+y^2-xy\)

b) \(\frac{AM}{BM}+\frac{AN}{CN}=1\Leftrightarrow\frac{x}{a-x}+\frac{y}{a-y}=1\)

\(\Leftrightarrow x\left(a-y\right)+y\left(a-x\right)=\left(a-x\right)\left(a-y\right)\)

\(\Leftrightarrow ax+ay-2xy=a^2-ax-ay+xy\Leftrightarrow a^2-2ax-2ay+3xy=0\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2-xy=a^2+x^2+y^2-2ax-2ay+2xy=\left(a-x-y\right)^2\)

\(\Leftrightarrow MN=a-x-y\)

25 tháng 6 2019

A B C x y a M N

G/s: Tam giác đều ABC có cạnh bằng a

Đặt AM=x, AN =y, x, y dương và bé hơn a

=> MB=a-x, NC=a-y

Theo bài ra ta có:

\(\frac{x}{a-x}+\frac{y}{a-y}=1\)

\(\Leftrightarrow-\frac{x}{a-x}-\frac{y}{a-y}=-1\)

\(\Leftrightarrow1-\frac{a}{a-x}+1-\frac{a}{a-y}=-1\)

\(\Leftrightarrow\frac{a}{a-x}+\frac{a}{a-y}=3\)

\(\Leftrightarrow\frac{3}{a}=\frac{1}{a-x}+\frac{1}{a-y}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{a-x+a-y}=\frac{4}{2a-\left(x+y\right)}\)

\(\Leftrightarrow x+y\le\frac{2a}{3}\)

Diện tích tam giác AMN:

\(S_{\Delta AMN}=\frac{1}{2}AM.AN.\sin\widehat{MAN}=\frac{1}{2}.xy.\frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(=\frac{\sqrt{3}}{4}.xy\le\frac{\sqrt{3}}{4}\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\le\frac{\sqrt{3}}{16}\frac{4a^2}{9}=\frac{\sqrt{3}a^2}{36}\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: \(x=y=\frac{a}{3}\)

Vậy AM=1/3AB, AN=1/3AC thì diện tích tam giác AMN lớn nhất bằng \(\frac{\sqrt{3}a^2}{36}\)

4 tháng 8 2017

A B C M P N B' A' C'

Định lý menelaus