Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có: \(3x^2+3y^2+4xy+2x-2y+2=0\)
\(\Leftrightarrow x^2+2x+1+y^2-2y+1+2x^2+4xy+2y^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)^2+\left(y-1\right)^2+2\left(x^2+2xy+y^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)^2+\left(y-1\right)^2+2\left(x+y\right)^2=0\)
Ta có: \(\left(x+1\right)^2\ge0\forall x\)
\(\left(y-1\right)^2\ge0\forall y\)
\(2\left(x+y\right)^2\ge0\forall x,y\)
Do đó: \(\left(x+1\right)^2+\left(y-1\right)^2+2\left(x+y\right)^2\ge0\forall x,y\)
Dấu '=' xảy ra khi
\(\left\{{}\begin{matrix}x+1=0\\y-1=0\\x+y=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-1\\y=1\\-1+1=0\left(đúng\right)\end{matrix}\right.\)
Thay x=-1 và y=1 vào biểu thức \(M=\left(x+y\right)^{2016}+\left(x+2\right)^{2017}+\left(y-1\right)^{2018}\), ta được:
\(M=\left(-1+1\right)^{2016}+\left(-1+2\right)^{2017}+\left(1-1\right)^{2018}\)
\(=0^{2016}+1^{2017}+0^{2018}=1\)
Vậy: M=1
Từ \(x\left(\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)+y\left(\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{x}\right)+z\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)=-2\) ta có:
\(x^2y+y^2z+z^2x+xy^2+yz^2+zx^2+2xyz=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+y=0\\y+z=0\\z+x=0\end{matrix}\right.\).
Không mất tính tổng quát, giả sử x + y = 0
\(\Leftrightarrow x=-y\)
\(\Leftrightarrow x^3=-y^3\).
Kết hợp với \(x^3+y^3+z^3=1\) ta có \(z^3=1\Leftrightarrow z=1\).
Vậy \(P=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{-y}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{1}=1\).
\(5x^2+5y^2+8xy-2x+2y+2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(4x^2+8xy+4y^2\right)+\left(x^2-2x+1\right)+\left(y^2+2y+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow4\left(x+y\right)^2+\left(x-1\right)^2+\left(y+1\right)^2=0\)
Ta thấy \(VT\ge VP\forall x;y\) để đấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=1;y=-1\) thay vào M :
\(M=\left(-1+1\right)^{2015}+\left(1-2\right)^{2016}+\left(-1+1\right)^{2017}=1\)
Biến đổi tương đương giả thiết: \(\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)\left[\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\right]=0\) (xét hiệu 2 vế, cái đẳng thức này quen thuộc nên bạn tự biến đổi)
Do x, y, z dương nên x + y + z > 0. Do đó để đẳng thức trong giả thiết xảy ra thì \(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow x=y=z\). Thay y, z bởi x vào M ta được M = 3.
Mình nêu hướng làm thôi!
Bài 2:
Tìm GTLN: \(x^2+xy+y^2=3\Leftrightarrow xy=\left(x+y\right)^2-3\Rightarrow xy\ge-3\Rightarrow-7xy\le21\)
\(P=2\left(x^2+xy+y^2\right)-7xy\le2.3+21=27\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x+y=0\\xy=-3\end{cases}\Leftrightarrow}\orbr{\begin{cases}x=\sqrt{3},y=-\sqrt{3}\\x=-\sqrt{3},y=\sqrt{3}\end{cases}}\)
Tìm GTNN:
Chứng minh \(xy\le\frac{1}{2}\left(x^2+y^2\right)\Rightarrow\frac{3}{2}xy\le\frac{1}{2}\left(x^2+y^2+xy\right)\)
\(\Rightarrow\frac{3}{2}xy\le\frac{3}{2}\Rightarrow xy\le1\Rightarrow-7xy\ge-7\)
\(P=2\left(x^2+xy+y^2\right)-7xy\ge2.3-7=-1\)
Chúc bạn học tốt.
Làm bài 1 ha :)
Áp dụng BĐT Cô si ta có:
\(\left(1-x^3\right)+\left(1-y^3\right)+\left(1-z^3\right)\ge3\sqrt[3]{\left(1-x^3\right)\left(1-y^3\right)\left(1-z^3\right)}\)
\(\Leftrightarrow\frac{3-\left(x^3+y^3+z^3\right)}{3}\ge\sqrt[3]{\left(1-x^3\right)\left(1-y^3\right)\left(1-z^3\right)}\)
Mặt khác:\(\frac{3-\left(x^3+y^3+z^3\right)}{3}\le\frac{3-3xyz}{3}=1-xyz\)
Khi đó:
\(\left(1-xyz\right)^3\ge\left(1-x^3\right)\left(1-y^3\right)\left(1-z^3\right)\)
Giống Holder ghê vậy ta :D
Ta có: \(x+2y+3x=0\Leftrightarrow x=-\left(2y+3z\right)\)
Lại có: \(2xy+6yz+3xz=0\Leftrightarrow x\left(2y+3z\right)+6yz=0\)
\(\Leftrightarrow-\left(2y+3z\right)\left(2y+3z\right)+6yz=0\Leftrightarrow-\left(2y+3z\right)^2+6yz=0\)
\(\Leftrightarrow\left(2y+3z\right)^2-6yz=0\Leftrightarrow4y^2+12yz+9z^2-6yz=0\)
\(\Leftrightarrow4y^2+6yz+9z^2=0\Leftrightarrow\left(2y+\dfrac{3z}{2}\right)^2+\dfrac{27z^2}{4}=0\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(2y+\dfrac{3z}{2}\right)^2=0\\\dfrac{27z^2}{4}=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow y=z=0\Rightarrow x=0\)
\(\Rightarrow S=\dfrac{\left(-1\right)^{2019}-1^{2017}+\left(-1\right)^{2015}}{1^{2018}+2.0^{2016}+0^{2014}+2}=\dfrac{-1-1+-1}{1+0+0+2}=\dfrac{-3}{3}=-1\)