DT
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
1 tháng 4 2019
\(P=\frac{3x}{4}+\frac{12}{x}+\frac{3y}{4}+\frac{3}{y}+\frac{5}{4}\left(x+y\right)\)
\(P\ge2\sqrt{\frac{3x}{4}.\frac{12}{x}}+2\sqrt{\frac{3y}{4}.\frac{3}{y}}+\frac{5}{4}\left(x+y\right)\)
\(P\ge6+3+\frac{5}{4}.6=\frac{33}{2}\)
\(\Rightarrow P_{min}=\frac{33}{2}\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=4\\y=2\end{matrix}\right.\)
18 tháng 4 2020
bạn tính như thế nào mà có thể nhận được cách tách ở dòng đầu vậy ạ?
1 tháng 4 2019
\(\frac{27}{3\sqrt{3x-2}+6}+\frac{8+4x-x^2}{x\sqrt{6-x}+4}\ge\frac{3}{2}+\frac{2x-14}{3\sqrt{6-x}+2}>0\)
Nên phần còn lại vô nghiệm
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
9 tháng 4 2021
\(P=\dfrac{4x^2+2xy-\left(x^2+y^2\right)}{2xy-2y^2+3\left(x^2+y^2\right)}=\dfrac{3x^2+2xy-y^2}{3x^2+2xy+y^2}\)
Biểu thức này không tồn tại max mà chỉ tồn tại min
\(P=\dfrac{-2\left(3x^2+2xy+y^2\right)+9x^2+6xy+y^2}{3x^2+2xy+y^2}=-2+\dfrac{\left(3x+y\right)^2}{2x^2+\left(x+y\right)^2}\ge-2\)
DD
Đoàn Đức Hà
Giáo viên
21 tháng 6 2021
Ta có bất đẳng thức: với \(x,y>0\)
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)
Dấu \(=\)khi \(x=y\).
Áp dụng bất đẳng thức trên ta được:
\(\frac{1}{2x+3y+3z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{2y+2z}\right)\le\frac{1}{4}\left[\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{y+z}\right)\right]\)
\(=\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}\right)+\frac{1}{8}\left(\frac{1}{y+z}\right)\)
Tương tự với \(\frac{1}{3x+2y+3z},\frac{1}{3x+3y+2z}\)sau đó cộng lại vế với vế ta được:
\(P\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\right)=3\)
Dấu \(=\)xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{8}\)
KH
11 tháng 5 2019
\(F=x+y+\frac{1}{2x}+\frac{2}{y}\)
\(F=\frac{x}{2}+\frac{x}{2}+\frac{y}{2}+\frac{y}{2}+\frac{1}{2x}+\frac{2}{y}\)
\(F=\left(\frac{x}{2}+\frac{1}{2x}\right)+\left(\frac{x}{2}+\frac{y}{2}\right)+\left(\frac{y}{2}+\frac{2}{y}\right)\)
\(F=\frac{1}{2}\left(x+\frac{1}{x}\right)+\left(\frac{x+y}{2}\right)+\left(\frac{y}{2}+\frac{2}{y}\right)\)
Ta có: \(x+\frac{1}{x}\ge2\Rightarrow\frac{1}{2}\left(x+\frac{1}{x}\right)\ge1\left(1\right)\)
\(x+y\ge3\Rightarrow\frac{x+y}{2}\ge\frac{3}{2}\left(2\right)\)
\(\frac{y}{2}+\frac{2}{y}\ge2\left(3\right)\)
Cộng lần lượt từng vế của 3 BĐT \(\left(1\right);\left(2\right);\left(3\right)\) ta được:
\(\frac{1}{2}\left(x+\frac{1}{x}\right)+\left(\frac{x+y}{2}\right)+\left(\frac{y}{2}+\frac{2}{y}\right)\ge1+\frac{3}{2}+2=\frac{9}{2}\)
\(\Rightarrow F\ge\frac{9}{2}\)
Vậy \(Min_F=\frac{9}{2}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
11 tháng 5 2019
\(F=\frac{x}{2}+\frac{1}{2x}+\frac{y}{2}+\frac{2}{y}+\frac{1}{2}\left(x+y\right)\)
\(F\ge2\sqrt{\frac{x}{4x}}+2\sqrt{\frac{2y}{2y}}+\frac{1}{2}.3=\frac{9}{2}\)
\(\Rightarrow F_{min}=\frac{9}{2}\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=2\end{matrix}\right.\)
20 tháng 8 2020
Ta có \(\left(\frac{x^3}{y^2+z}+\frac{y^3}{z^2+x}+\frac{z^3}{x^2+y}\right)\left[x\left(y^2+x\right)+y\left(z^2+x\right)+z\left(x^2+y\right)\right]\ge\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\left(1\right)\)
Ta chứng minh \(\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\ge\frac{4}{5}\left[x\left(y^2+z\right)+y\left(z^2+x\right)+z\left(x^2+y\right)\right]\)
\(\Leftrightarrow5\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\ge4\left[x\left(y^2+z\right)+y\left(z^2+x\right)+z\left(x^2+y\right)\right]\left(2\right)\)
Thật vậy \(\hept{\begin{matrix}3\left(\Sigma x^2\right)^2\ge\left(\Sigma x^2\right)\cdot\Sigma x^2=4\Sigma zx\left(3\right)\\2\left(\Sigma x^2\right)^2\ge4\Sigma xy^2\left(4\right)\end{matrix}\Leftrightarrow2\left(\Sigma x^2\right)^2\ge\Sigma xy^2\left(x+y+z\right)}\)(*)
Từ các Bất Đẳng Thức \(\hept{\begin{cases}\frac{x^4-2x^3z+z^2x^2}{2}\ge0\\\frac{x^4+y^4+2x^4}{4}\ge xyz^2\end{cases}}\)=> (*) đúng
Như vậy (3),(4) đúng => (2) đúng
Từ đó suy ra \(T\ge\frac{4}{5}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{2}{3}\)
\(P=\dfrac{\left(x+y\right)^3}{x^2y}\\ =\dfrac{x^3+3x^2y+3xy^2+y^3}{x^2y}\\ =\dfrac{x}{y}+3+\dfrac{3y}{x}+\dfrac{y^2}{x^2}\\ =\left(\dfrac{y^2}{x^2}+\dfrac{3y}{x}+\dfrac{x}{y}\right)+3\\ =\left(\dfrac{y^2}{x^2}+\dfrac{y}{2x}+\dfrac{y}{2x}+\dfrac{y}{2x}+\dfrac{y}{2x}+\dfrac{y}{2x}+\dfrac{y}{2x}+\dfrac{x}{8y}+\dfrac{x}{8y}+\dfrac{x}{8y}+\dfrac{x}{8y}+\dfrac{x}{8y}+\dfrac{x}{8y}+\dfrac{x}{8y}+\dfrac{x}{8y}\right)+3\\ \overset{Cauchy}{\ge}15\sqrt[15]{\dfrac{y^2}{x^2}\left(\dfrac{y}{2x}\right)^6\left(\dfrac{x}{8y}\right)^8}+3\\ =\dfrac{15}{4}+3\\ =\dfrac{27}{4}\)
Vậy \(MinP=\dfrac{27}{4}\Leftrightarrow x=2y\).