![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki , ta có :
\(\left(x^2+y^2\right)^2=\left(\sqrt{x}.\sqrt{x^3}+\sqrt{y}.\sqrt{y^3}\right)^2\) \(\le\left(x+y\right)\left(x^3+y^3\right)=2\left(x+y\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+y^2\right)^4\le4\left(x+y\right)^2=4\left(1.x+1.y\right)^2\le4\left(1+1\right)\left(x^2+y^2\right)=8\left(x^2+y^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+y^2\right)^3\le8\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2\le2\left(\text{đ}pcm\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi x = y = 1
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Giả sử : \(y=ax\)
Thay vào giả thiết : \(\frac{ax}{x+ax}+\frac{2\left(ax\right)^2}{x^2+\left(ax\right)^2}+\frac{4\left(ax\right)^4}{x^4+\left(ax\right)^4}+\frac{8\left(ax\right)^8}{x^8-\left(ax\right)^8}=4\)
\(\Leftrightarrow\frac{x.a}{x.\left(a+1\right)}+\frac{x^2.2a^2}{x^2\left(1+a^2\right)}+\frac{x^4.4a^4}{x^4\left(1+a^4\right)}+\frac{x^8.8a^8}{x^8\left(1-a^8\right)}=4\)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{a+1}+\frac{2a^2}{a^2+1}+\frac{4a^4}{a^4+1}+\frac{8a^8}{1-a^8}=4\)
Tới đây bạn giải ra , tìm a rồi thay vào y = ax là ra :)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số không âm, ta được:
\(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}=2\ge2\sqrt{\frac{2}{xy}}\Leftrightarrow\sqrt{\frac{2}{xy}}\le1\Leftrightarrow xy\ge2\)
\(5x^2+y-4xy+y^2=\left(2x-y\right)^2+x^2+y\ge x^2+y\)
\(=x^2+\frac{y}{2}+\frac{y}{2}\ge3\sqrt[3]{x^2.\frac{y}{2}.\frac{y}{2}}=3\sqrt[3]{\frac{\left(xy\right)^2}{4}}\ge3\sqrt[3]{\frac{4}{4}}=3.1=3\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Ta có:
x^3 + y^3 + x^2 + y^2 = 2xy(x+y)
Đặt S = x + y, P = xy, ta có:
x^3 + y^3 + x^2 + y^2 = (x+y)(x^2 + y^2) = (x+y)^3 - 3xy(x+y) = S^3 - 3PS
Vậy ta có:
S^3 - 3PS + S^2 - 2P = 0
S^3 + S^2 - 3PS - 2P = S(S^2 + S - 3P) - 2P = 0
Do đó, ta có:
S^2 + S - 3P = 0
Sử dụng công thức Viết để tính nghiệm của phương trình bậc hai này, ta được:
S = (-1 + sqrt(1 + 12P))/2 hoặc S = (-1 - sqrt(1 + 12P))/2
Vì x và y là các số thực dương, nên ta chỉ quan tâm đến nghiệm dương của S, tức là:
S = (-1 + sqrt(1 + 12P))/2
Tiếp theo, ta có:
K = x^3 + y^3 + 3/(x^2 + y^2) + 2/((x+y)^2)
= S^3 - 3PS + 3/(S^2 - 2P) + 2/(S^2)
= S^3 - 3PS + 3S^2/(S^2 - 2P) + 2/(S^2)
= S^3 - 3PS + 3S^2/(S^2 - 2P) + 2S^2/(S^2 * (S^2 - 2P))
= S^3 - 3PS + (5S^4 - 6PS^2)/(S^2 * (S^2 - 2P))
= S^3 - 3PS + (5S^4 - 6PS^2)/(S^2 * (S^2 + 1 - 2xy))
= S^3 - 3PS + (5S^4 - 6PS^2)/((S^2 + 1)^2 - 2(S^2-1)P)
= S^3 - 3PS + (5S^4 - 6PS^2)/((S^2 + 1)^2 - 2(S^2-1)(S^3 - 3PS))
= S^3 - 3PS + (5S^4 - 6PS^2)/(-2S^5 + 10S^3 - 2PS^2 + 2P)
= S^3 - 3PS + (5S^4 - 6PS^2)/(2S^5 - 10S^3 + 2PS^2 - 2P)
= S^3 - 3PS + (5S^2 - 6P)/(2S^3 - 10S +
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(VT=x^3y^3\left(x^2+y^2\right)=\frac{1}{8}.2xy.2xy.2xy.\left(x^2+y^2\right)\)
\(\le\frac{1}{8}\left[\frac{\left(4xy+2xy+x^2+y^2\right)^4}{256}\right]\)(áp dụng BĐT AM-GM cho 4 số)
\(=\frac{1}{8}.\frac{\left[4xy+\left(x+y\right)^2\right]^4}{256}\le\frac{1}{8}.\frac{\left[2\left(x+y\right)^2\right]^4}{256}=2\)
Đẳng thức xảy ra khi x = y = 1
Ta có đpcm/