Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng BĐT AM - GM ta có:
\(4\sqrt{ab}=2\sqrt{a.4b}\le a+4b\)
\(4\sqrt{bc}=2\sqrt{b.4c}\le b+4c\)
\(4\sqrt[3]{abc}=\sqrt[3]{a.4b.16c}\le\frac{a+4b+16c}{3}\)
Cộng theo vế 3 BĐT ta được:
\(8a+3b+4\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt[3]{abc}\right)\le\frac{28}{3}\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow P\le\frac{28\left(a+b+c\right)}{3+3\left(a+b+c\right)^2}=\frac{14}{3}-\frac{14\left(a+b+c-1\right)^2}{3\left[\left(a+b+c\right)^2+1\right]}\le\frac{14}{3}\)
\(\Rightarrow Max_P=\frac{14}{3}\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow a+b+c=1\)và \(a=4b=16c\)
\(\Leftrightarrow a=\frac{16}{21};b=\frac{4}{21};c=\frac{1}{21}\)
Ta có: \(\sqrt[3]{\left(a+b\right).\frac{2}{3}.\frac{2}{3}}\le\frac{a+b+\frac{4}{3}}{3}=\frac{a+b}{3}+\frac{4}{9}\)
Tương tự rồi cộng các vế của BĐT lại, ta được: \(\sqrt[3]{\frac{4}{9}}P\le\frac{2\left(a+b+c\right)}{3}+\frac{4}{3}=2\Rightarrow P\le\sqrt[3]{18}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
\(P\le\sqrt{3\left(9a+16b+9b+16c+9c+16a\right)}=\sqrt{75\left(a+b+c\right)}=15\)
\(P_{max}=15\) khi \(a=b=c=1\)
Thầy có thể viết rõ hơn chút không ạ? Em thấy còn mơ màng lắm thầy ạ
\(a;b\ge-7\) \(bđt\) \(minicopxki\)
\(\Rightarrow\sqrt{a+7}+\sqrt{b+7}=\sqrt{\sqrt{a}^2+\sqrt{7}^2}+\sqrt{\sqrt{b}^2+\sqrt{7}^2}\ge\sqrt{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2+28}\)
\(\Rightarrow9\ge\sqrt{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2+28}\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2\le81-28=53\Rightarrow\sqrt{a}+\sqrt{b}\le\sqrt{53}\)
\(dâu"="xảy\) \(ra\Leftrightarrow a=b=13,25\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x=sina\\y=sinb\end{matrix}\right.\) với \(a;b\in\left(0;\dfrac{\pi}{2}\right)\)
\(P=\sqrt{sina}+\sqrt{sinb}+\sqrt[4]{12}.\sqrt{sina.cosb+cosa.sinb}\)
\(P\le\sqrt{2\left(sina+sinb\right)}+\sqrt[4]{12}.\sqrt{sin\left(a+b\right)}\)
Do \(sina+sinb=2sin\dfrac{a+b}{2}cos\dfrac{a-b}{2}\le2sin\dfrac{a+b}{2}\)
\(\Rightarrow P\le2\sqrt{sin\dfrac{a+b}{2}}+\sqrt[4]{12}.\sqrt{sin\left(a+b\right)}=2\sqrt{sint}+\sqrt[4]{12}.\sqrt{sin2t}\)
\(\Rightarrow\dfrac{P}{\sqrt{2}}\le\sqrt{2sint}+\sqrt{\sqrt{3}.sin2t}\Rightarrow\dfrac{P^2}{4}\le2sint+\sqrt{3}sin2t\)
\(\Rightarrow\dfrac{P^2}{8}\le sint\left(1+\sqrt{3}cost\right)\Rightarrow\dfrac{P^4}{64}\le sin^2t\left(1+\sqrt{3}cost\right)^2\le2sin^2t\left(1+3cos^2t\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{P^4}{128}\le sin^2t\left(4-3sin^2t\right)=-3sin^4t+4sin^2t\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{P^4}{128}\le-3\left(sin^2t-\dfrac{2}{3}\right)^2+\dfrac{4}{3}\le\dfrac{4}{3}\)
\(\Rightarrow P\le4.\sqrt[4]{\dfrac{2}{3}}\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(sint=\sqrt{\dfrac{2}{3}}\)
Ta có \(\sqrt{8a^2+56}=\sqrt{8\left(a^2+7\right)}=2\sqrt{2\left(a^2+ab+2bc+2ca\right)}\)
\(=2\sqrt{2\left(a+b\right)\left(a+2c\right)}\le2\left(a+b\right)+\left(a+2c\right)=3a+2b+2c\)
Tương tự \(\sqrt{8b^2+56}\le2a+3b+2c;\)\(\sqrt{4c^2+7}=\sqrt{\left(a+2c\right)\left(b+2c\right)}\le\frac{a+b+4c}{2}\)
Do vậy \(Q\ge\frac{11a+11b+12c}{3a+2b+2c+2a+3b+2c+\frac{a+b+4c}{2}}=2\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\left(a,b,c\right)=\left(1;1;\frac{3}{2}\right)\)
a) \(P=1957\)
b) \(S=19.\)
Cho các số thực dương a, b sao cho \(2a^2 +b^2=2a+b\). Tìm giá trị lớn nhất của \(P= \) \(a-b+3ab\).
Ta có: \(\sqrt{8a^2+56}=\sqrt{8\left(a^2+7\right)}=\sqrt{8\left(a^2+ab+2ab+2ac\right)}=2\cdot\sqrt{2\left(a+b\right)\left(a+2c\right)}\)
\(\le2\left(a+b\right)+\left(a+2c\right)=3a+2b+2c\)
Tương tự\(\hept{\begin{cases}\sqrt{8b^2+56}\le2a+3b+2c\\\sqrt{4c^2+7}=\sqrt{4c^2+ab+2ac+2bc}=\sqrt{\left(a+2c\right)\left(b+2c\right)}\le\frac{a+b+4c}{2}\end{cases}}\)
=> Q>2
Dấu "=" <=> \(\hept{\begin{cases}a=b=1\\c=1,5\end{cases}}\)