Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(y'=\dfrac{-3}{\left(x-1\right)^2}\)
Gọi tiếp điểm có hoành độ \(x_0\)
Phương trình tiếp tuyến: \(y=\dfrac{-3}{\left(x_0-1\right)^2}\left(x-x_0\right)+\dfrac{2x_0+1}{x_0-1}\) (1)
a.
Tọa độ A và B có dạng: \(A\left(\dfrac{2x_0^2+2x_0-1}{3};0\right)\) ; \(B\left(0;\dfrac{2x_0^2+2x_0-1}{\left(x_0-1\right)^2}\right)\)
\(\Rightarrow OA=\left|\dfrac{2x_0^2+2x_0-1}{3}\right|;OB=\dfrac{\left|2x_0^2+2x_0-1\right|}{\left(x_0-1\right)^2}\)
\(S_{OAB}=\dfrac{1}{2}OA.OB=\dfrac{1}{6}\Rightarrow OA.OB=\dfrac{1}{3}\)
\(\Rightarrow\dfrac{\left(2x_0^2+2x_0-1\right)^2}{3\left(x_0-1\right)^2}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow\left(2x_0^2+2x_0-1\right)^2=\left(x_0-1\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(2x_0^2+3x_0-2\right)\left(2x_0^2+x_0\right)=0\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x_0=0\\x_0=-\dfrac{1}{2}\\x_0=-2\\x_0=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
Có 4 tiếp tuyến thỏa mãn:... (thế lần lượt các giá trị \(x_0\) vào (1) là được)
Lời giải:
Gọi tọa độ điểm \(M(a,\frac{2a}{a+1})\)
\(y=\frac{2x}{x+1}\Rightarrow y'=\frac{2}{(x+1)^2}\)
Do đó phương trình tiếp tuyến của $(C)$ tại $M$ là:
\((d):y=f'(a)(x-a)+f(a)=\frac{2}{(a+1)^2}(x-a)+\frac{2a}{a+1}\)
\(\Leftrightarrow (d):y=\frac{2x+2a^2}{(a+1)^2}\)
Do đó: \((d)\cap Ox=A(-a^2,0)\)
\((d)\cap (Oy)=B(0, \frac{2a^2}{(a+1)^2})\)
Có: \(S_{OAB}=\frac{OA.OB}{2}=\frac{|-a^2||\frac{2a^2}{(a+1)^2}|}{2}=\frac{1}{4}\)
\(\Leftrightarrow \frac{2a^4}{(a+1)^2}=\frac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow 4a^4-(a+1)^2=0\Leftrightarrow (2a^2-a-1)(2a^2+a+1)=0\)
Giải pt dễ dàng tìm được \(\left[\begin{matrix} a=1\\ a=\frac{-1}{2}\end{matrix}\right.\) (t/m)
Do đó \(M\in\left\{(1,1); (\frac{-1}{2}, -2)\right\}\)
\(y'=x^2-2x+2\)
Gọi tiếp tuyến d tại \(M\left(a;b\right)\) có phương trình:
\(y=\left(a^2-2a+2\right)\left(x-a\right)+\frac{1}{3}a^3-a^2+2a+1\)
Giao của d với Ox và Oy lần lượt là \(\left\{{}\begin{matrix}A\left(\frac{2a^3-3a^2-3}{3\left(a^2-2a+2\right)};0\right)\\B\left(0;\frac{2a^3-3a^2-3}{-3}\right)\end{matrix}\right.\)
\(OA^2=OB^2\Leftrightarrow\frac{\left(2a^3-3a^2-3\right)^2}{9\left(a^2-2a+2\right)^2}=\frac{\left(2a^2-3a^2-3\right)^2}{9}\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2a+2\right)^2=1\) \(\Leftrightarrow a^2-2a+1=0\Rightarrow a=1\)
Phương trình tiếp tuyến: \(y=x+\frac{4}{3}\)
\(y=\dfrac{x-1}{x+1}\Rightarrow y'=\dfrac{2}{\left(x+1\right)^2}>0\)
Do OAB vuông cân \(\Rightarrow AB\) tạo với trục hoành 1 góc 45 độ hoặc 135 độ
\(\Rightarrow\) Hệ số góc đường thẳng thỏa mãn: \(\left[{}\begin{matrix}k=tan45^0=1\\k=tan135^0=-1< 0\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\dfrac{2}{\left(x+1\right)^2}=1\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-1-\sqrt{2}\Rightarrow y=1+\sqrt{2}\\x=-1+\sqrt{2}\Rightarrow y=1-\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)
Phương trình tiếp tuyến:
\(\left[{}\begin{matrix}y=1\left(x+1+\sqrt{2}\right)+1+\sqrt{2}\\y=1\left(x+1-\sqrt{2}\right)+1-\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)