Question

[Andromeda Galaxy]

Cho \(A=\sqrt{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)}.\left(\dfrac{\sqrt{y+z}}{x}+\dfrac{\sqrt{z+x}}{y}+\dfrac{\sqrt{x+y}}{z}\right)\)

Tìm Min A biết x,y,z là 3 số thực dương thay đổi có tổng bằng \(\sqrt{2}\)

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

Ta có:

\(A=\sqrt{(x+y)(y+z)(z+x)}\left(\frac{\sqrt{y+z}}{x}+\frac{\sqrt{z+x}}{y}+\frac{\sqrt{x+y}}{z}\right)\)

\(A=\frac{(y+z)\sqrt{(x+y)(x+z)}}{x}+\frac{(z+x)\sqrt{(y+z)(y+x)}}{y}+\frac{(x+y)\sqrt{(z+x)(z+y)}}{z}\)

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

\((x+y)(x+z)\geq (x+\sqrt{yz})^2\) và tương tự với những biểu thức khác suy ra:

\(A\geq \frac{(y+z)(x+\sqrt{yz})}{x}+\frac{(z+x)(y+\sqrt{xz})}{y}+\frac{(x+y)(z+\sqrt{xy})}{z}\)

hay \(A\geq 2(x+y+z)+\frac{(y+z)\sqrt{yz}}{x}+\frac{(z+x)\sqrt{zx}}{y}+\frac{(x+y)\sqrt{xy}}{z}\)

hay \(A\geq 2(x+y+z)+\underbrace{\frac{yz(y+z)\sqrt{yz}+xz(x+z)\sqrt{xz}+xy(x+y)\sqrt{xy}}{xyz}}_{M}\)

Đặt \((x,y,z)=(a^2,b^2,c^2)\)

Khi đó: \(M=\frac{a^3b^3(a^2+b^2)+b^3c^3(b^2+c^2)+c^3a^3(a^2+c^2)}{a^2b^2c^2}\)

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(a^5b^3+a^3b^5\geq 2\sqrt{a^8b^8}=2a^4b^4\)

\(b^5c^3+c^5b^3\geq 2b^4c^4\)

\(c^5a^3+a^5c^3\geq 2c^4a^4\)

\(\Rightarrow a^3b^3(a^2+b^2)+b^3c^3(b^2+c^2)+c^3a^3(c^2+a^2)\geq 2(a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4)\) (1)

(cộng các BĐT theo vế)

Tiếp tục AM-GM:

\(a^4b^4+b^4c^4\geq 2a^2b^4c^2; b^4c^4+c^4a^4\geq 2a^2b^2c^4; c^4a^4+a^4b^4\geq 2a^4b^2c^2\)

\(\Rightarrow a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4\geq a^2b^2c^2(a^2+b^2+c^2)\) (2)

Từ\((1); (2)\Rightarrow a^3b^3(a^2+b^2)+b^3c^3(b^2+c^2)+c^3a^3(c^2+a^2)\geq 2a^2b^2c^2(a^2+b^2+c^2)\)

\(\Rightarrow M\geq 2(a^2+b^2+c^2)=2(x+y+z)\)

Do đó: \(A\geq 2(x+y+z)+M\geq 4(x+y+z)\Leftrightarrow A\geq 4\sqrt{2}\)

Vậy \(A_{\min}=4\sqrt{2}\Leftrightarrow x=y=z=\frac{\sqrt{2}}{3}\)

Answer 2

[Huy Nguyen]

Lời giải:

Ta có:

A=√(x+y)(y+z)(z+x)(√y+zx+√z+xy+√x+yz)

A=(y+z)√(x+y)(x+z)x+(z+x)√(y+z)(y+x)y+(x+y)√(z+x)(z+y)z

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

(x+y)(x+z)≥(x+√yz)2 và tương tự với những biểu thức khác suy ra:

A≥(y+z)(x+√yz)x+(z+x)(y+√xz)y+(x+y)(z+√xy)z

hay A≥2(x+y+z)+(y+z)√yzx+(z+x)√zxy+(x+y)√xyz

hay A≥2(x+y+z)+yz(y+z)√yz+xz(x+z)√xz+xy(x+y)√xyxyz M 

Đặt (x,y,z)=(a2,b2,c2)

Khi đó: M=a3b3(a2+b2)+b3c3(b2+c2)+c3a3(a2+c2)a2b2c2

Áp dụng BĐT AM-GM:

a5b3+a3b5≥2√a8b8=2a4b4

b5c3+c5b3≥2b4c4

c5a3+a5c3≥2c4a4

⇒a3b3(a2+b2)+b3c3(b2+c2)+c3a3(c2+a2)≥2(a4b4+b4c4+c4a4) (1)

(cộng các BĐT theo vế)

Tiếp tục AM-GM:

a4b4+b4c4≥2a2b4c2;b4c4+c4a4≥2a2b2c4;c4a4+a4b4≥2a4b2c2 

⇒a4b4+b4c4+c4a4≥a2b2c2(a2+b2+c2) (2)

Từ(1);(2)⇒a3b3(a2+b2)+b3c3(b2+c2)+c3a3(c2+a2)≥2a2b2c2(a2+b2+c2)

⇒M≥2(a2+b2+c2)=2(x+y+z)

Do đó: A≥2(x+y+z)+M≥4(x+y+z)⇔A≥4√2

Vậy Amin=4√2⇔x=y=z=√23