Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt \(x+2y+1=a\)
\(P=a^2+\left(a+4\right)^2=2a^2+8a+16=2\left(a+2\right)^2+8\ge8\)
\(ĐK:x\ne y;x\ne-y;x^2+xy+y^2\ne0;x^2-xy+y^2\ne0\)
\(A=\dfrac{x^2-xy+y^2}{x^2+xy+y^2}\cdot\left[1:\dfrac{\left(x^3+y^3\right)\left(x^2+y^2\right)}{\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)}\right]\\ A=\dfrac{x^2-xy+y^2}{x^2+xy+y^2}\cdot\dfrac{\left(x-y\right)\left(x+y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)\left(x^2+y^2\right)}{\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)\left(x^2+y^2\right)}\\ A=x-y=B\)
\(x=0;y=0\Leftrightarrow B=0\)
Giá trị của A không xác định vì \(x=y\) trái với ĐK:\(x\ne y\)
Vậy \(A\ne B\)
Từ giả thiếu suy ra: (x2+y2)2-4(x2+y2)+3=-x2 =<0
Do đó: A2-4A+3 =<0
<=> (A-1)(A-3) =<0
<=> 1 =<A=<3
Vậy MinA=1 <=> x=0; y=\(\pm\)1
MaxA=3 <=> x=0; y=\(\pm\sqrt{3}\)
Ta có
\(\frac{x^3}{\left(y+z\right)\left(y+2z\right)}+\frac{y+z}{12}+\frac{y+2z}{18}\ge\frac{3x}{6}=\frac{x}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^3}{\left(y+z\right)\left(y+2z\right)}\ge-\frac{y+z}{12}-\frac{y+2z}{18}+\frac{x}{2}=\frac{18x-7z-5y}{36}\)
Tương tự ta có
\(\frac{y^3}{\left(z+x\right)\left(z+2x\right)}\ge\frac{18y-7x-5z}{36}\)
\(\frac{z^3}{\left(x+y\right)\left(x+2y\right)}\ge\frac{18z-7y-5x}{36}\)
Cộng vế theo vế ta được
\(A\ge\frac{18x-7z-5y}{36}+\frac{18y-7x-5z}{36}+\frac{18z-7y-5x}{36}\)
\(=\frac{x+y+z}{6}\ge\frac{3\sqrt[3]{xyz}}{6}=\frac{3.2}{6}=1\)
Dấu = xảy ra khi x = y = z = 2
\(\Leftrightarrow6\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)+20=\dfrac{5\left(x+y\right)\left(xy+3\right)}{xy}\ge\dfrac{5\left(x+y\right)2\sqrt{3xy}}{xy}=10\sqrt{3}\left(\sqrt{\dfrac{x}{y}}+\sqrt{\dfrac{y}{x}}\right)\)
Đặt \(\sqrt{\dfrac{x}{y}}+\sqrt{\dfrac{y}{x}}=t\ge2\Rightarrow\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}=t^2-2\)
\(\Rightarrow6\left(t^2-2\right)+20\ge10\sqrt{3}t\)
\(\Rightarrow3t^2-5\sqrt{3}t+4\ge0\)
\(\Rightarrow\left(\sqrt{3}t-1\right)\left(\sqrt{3}t-4\right)\ge0\)
Do \(t\ge2\Rightarrow\sqrt{3}t-1>0\)
\(\Rightarrow\sqrt{3}t-4\ge0\Rightarrow t\ge\dfrac{4}{\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow t^2\ge\dfrac{16}{3}\Rightarrow t^2-2\ge\dfrac{10}{3}\)
\(\Rightarrow\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\ge\dfrac{10}{3}\) (do \(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}=t^2-2\))
Vậy \(A_{min}=\dfrac{10}{3}\) khi \(\left(x;y\right)=\left(1;3\right);\left(3;1\right)\)
\(A=f\left(x,y\right)\)
Coi y là tham số \(\rightarrow A=f\left(x\right)\)
\(A=f\left(x\right)=2x^2-4xy+5y^2-6x-2y+13\)
\(f'\left(x\right)=4x-4y-6\)
Coi x là tham số \(\rightarrow A=f\left(y\right)\)
\(f'\left(y\right)=10y-4x-2\)
\(f'\left(x\right)=f'\left(y\right)=0\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\frac{17}{6}\\y=\frac{4}{3}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow Min_A=f\left(\frac{17}{6};\frac{4}{3}\right)=\frac{19}{6}\)
Chơi cả cực trị hàm nhiều biến cho lớp 9 luôn :D
Cứ nhân tung biến đổi thôi:
\(A=x^2-4xy+4y^2+x^2-6x+9+y^2-2y+1+3\)
\(A=2x^2-4xy+5y^2-6x-2y-13\)
\(A=2\left(x^2+y^2+\frac{9}{4}-2xy-3x+3y\right)+3\left(y^2-\frac{8}{3}y+\frac{16}{9}\right)+\frac{19}{6}\)
\(A=2\left(x-y-\frac{3}{2}\right)^2+3\left(y-\frac{4}{3}\right)^2+\frac{19}{6}\ge\frac{19}{6}\)
\(\Rightarrow A_{min}=\frac{19}{6}\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=y+\frac{3}{2}=\frac{17}{6}\\y=\frac{4}{3}\end{matrix}\right.\)