Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài 3:
\(\dfrac{1}{\left(x-y\right)^2}+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\ge\dfrac{4}{xy}\)
\(\Leftrightarrow x^2y^2\left(\dfrac{1}{\left(x-y\right)^2}+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\right)\ge\dfrac{4}{xy}.x^2y^2\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2y^2}{\left(x-y\right)^2}+x^2+y^2\ge4xy\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2y^2}{\left(x-y\right)^2}+x^2-2xy+y^2\ge2xy\)
\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{xy}{x-y}\right)^2+\left(x-y\right)^2\ge2xy\)
\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{xy}{x-y}\right)^2-2xy+\left(x-y\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{xy}{x-y}-x+y\right)^2=0\) (luôn đúng)
a: \(-3x^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^2< =0\)
=>x=0
b: \(\dfrac{-5}{4x^2}\ge0\)
\(\Leftrightarrow4x^2< 0\)(vô lý)
c: \(\dfrac{4}{x+3}>=0\)
=>x+3>0
hay x>-3
d: \(\dfrac{-5}{2x-1}>=0\)
=>2x-1<0
hay x<1/2
e: \(\dfrac{-2}{x^2+1}>=0\)
=>x2+1<0(vô lý)
f: \(\dfrac{10}{x^2+9}>=0\)
=>x2+9>0(luôn đúng)
a: \(-3x^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^2< =0\)
=>x=0
b: \(\dfrac{-5}{4x^2}\ge0\)
\(\Leftrightarrow4x^2< 0\)(vô lý)
c: \(\dfrac{4}{x+3}>=0\)
=>x+3>0
hay x>-3
d: \(\dfrac{-5}{2x-1}>=0\)
=>2x-1<0
hay x<1/2
e: \(\dfrac{-2}{x^2+1}>=0\)
=>x2+1<0(vô lý)
f: \(\dfrac{10}{x^2+9}>=0\)
=>x2+9>0(luôn đúng)
=>(ab-1)^2+ab(a-b)^2>=0
=>a^2b^2-2ab+1+ab(a^2-2ab+b^2)>=0
=>a^2b^2-2ab+1+a^3b-2a^2b^2+ab^3>=0
=>a^3b+ab^3-a^2b^2-2ab+1>=0
=>ab(a^2+b^2)-2ab-a^2b^2+1>=0
=>ab(a^2+b^2-2-ab)+1>=0(luôn đúng)
a) Ta có: (a - 1)( b - 1)(c - 1) = abc - ab - bc - ac + a + b +c - 1 (*)
Mà abc =1 => (*) = (1 - 1) + (a + b + c) - (ab + bc + ac)
= ( a + b + c ) - ( ab + ac + bc)
\(\ge\) \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\) - ( ab + ac +bc )
= \(\dfrac{ab+ac+bc}{abc}\) - ab - ac - bc
= ab + bc + ac - ab - ac - bc = 0 ( do abc =1)
=> đpcm
e)
\(\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}\ge\left(\dfrac{a+b+c}{3}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ac\right)\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(a^2-2ac+c^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(a-c\right)^2+\left(b-c\right)^2\ge0\) ( luôn đúng)
=> ĐPCM
5. phân tích ra : \(1+\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}+1\)
áp dụng bđ cosy
\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{a}}=2\)
=> đpcm
6. \(x^2-x+1=x^2-2.\dfrac{1}{2}.x+\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}>0\)
hay với mọi x thuộc R đều là nghiệm của bpt
7.áp dụng bđt cosy
\(a^4+b^4+c^4+d^4\ge2\sqrt{a^2.b^2.c^2.d^2}=4abcd\left(đpcm\right)\)
3) Biến đổi tương đương:
\(8\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge\left(a+b\right)^3+\left(b+c\right)^3+\left(a+c\right)^3\) (1)
\(\Leftrightarrow\left(a^3+b^3\right)+\left(b^3+c^3\right)+\left(a^3+c^3\right)+6\left(a^3+c^3+b^3\right)\)
\(\ge\left(a^3+b^3\right)+\left(b^3+c^3\right)+\left(a^3+c^3\right)+3ab\left(a+b\right)+3bc\left(b+c\right)+3ac\left(a+c\right)\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ac\left(a+c\right)\)
\(\Leftrightarrow\left[a^3+b^3-ab\left(a+b\right)\right]+\left[a^3+c^3-ac\left(a+c\right)\right]+\left[b^3+c^3-bc\left(b+c\right)\right]\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2+\left(a+c\right)\left(a-c\right)^2+\left(b+c\right)\left(b-c\right)^2\ge0\) luôn đúng do a, b, c > 0
=> (1) đúng
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c
4) Ta có: a+b>c ; b+c>a; a+c>b
Xét \(\dfrac{1}{a+c}+\dfrac{1}{b+c}>\dfrac{1}{a+b+c}+\dfrac{1}{b+c+a}=\dfrac{2}{a+b+c}>\dfrac{2}{a+b+a+b}=\dfrac{1}{a+b}\)
Tương tự: \(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{a+c}>\dfrac{1}{b+c}\)
\(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}>\dfrac{1}{a+c}\)
Vậy suy ra được điều phải chứng minh
\(a.\dfrac{3x+1}{x^2+1}\ge0\)
Do : \(x^2+1>0\forall x\)
\(\Rightarrow3x+1\ge0\Leftrightarrow x\ge-\dfrac{1}{3}\)
KL ........
\(b.A=\dfrac{6x}{2x-1}=\dfrac{3\left(2x-1\right)+3}{2x-1}=3+\dfrac{3}{2x-1}\left(x\ne\dfrac{1}{2}\right)\)
Để : \(A\in Z\Leftrightarrow\dfrac{3}{2x-1}\in Z\Leftrightarrow2x-1\in\left\{\pm1;\pm3\right\}\)
\(\oplus2x-1=1\Leftrightarrow x=1\left(TM\right)\)
\(\oplus2x-1=-1\Leftrightarrow x=0\left(TM\right)\)
\(\oplus2x-1=3\Leftrightarrow x=2\left(TM\right)\)
\(\oplus2x-1=-3\Leftrightarrow x=-1\left(TM\right)\)
KL...........
\(c.B=\dfrac{x+1}{3x-x^2}:\left(\dfrac{3+x}{3-x}-\dfrac{3+x}{3-x}-\dfrac{12x^2}{x^2-9}\right)=\dfrac{x+1}{x\left(3-x\right)}:\dfrac{\left(3-x\right)\left(3+x\right)}{12x^2}=\dfrac{\left(x+1\right)\left(3+x\right)}{12x^3}\left(x\ne0;x\ne\pm3\right)\)
Áp dụng BĐT Cô - Si dạng Engel , ta có :
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\) ≥ \(\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c}=\dfrac{9}{a+b+c}\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : a = b = c
\(bpt\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge9\)
C-S: \(\left\{{}\begin{matrix}a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\\\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{1}{abc}}\end{matrix}\right.\)
Nhân theo vế suy ra đpcm
p/s: @Phùng Khánh Linh. Minh từng nói học toán phải từ gốc đến ngọn. Thực tế lp 8 còn ko biết đến C-S Engel là gì. Giải nên thiết thực với thực tế. T nói thế thôi ( góp ý hết sức nhẹ nhàng và éo tình cảm)