Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bạn ơi đề bài có điều kiện a, b, c không vậy. Hay là a, b, c bất kì?
Gọi \(S=\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+ab+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ab+a^2}\)
Dễ thấy \(P-S=0\)
\(\Rightarrow2P=\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3+c^3}{b^2+ab+c^2}+\frac{c^3+a^3}{c^2+ab+a^2}\)
Ta chứng minh:
\(\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}\ge\frac{a+b}{3}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2\ge0\)(đúng)
\(\Rightarrow2P\ge\frac{a+b}{3}+\frac{b+c}{3}+\frac{c+a}{3}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{3}=2\)
\(\Rightarrow P\ge1\)
Tự vẽ hình
Kẻ BH \(\perp\)AC và \(CK\perp\)AB
Tam giác AKC vuông tại K
=>CK=bsinA (1)
Tam giác BKC vuông tại K
=>CK=asinB (2)
Từ (1) (2)=>bsinA=asinB
<=>\(\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}\)
Chứng minh tương tự ta có :\(\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}\)
Vậy ....
Áp dụng BĐT Cô-si dạng Engel,ta có :
\(P=\frac{a^4}{ab}+\frac{b^4}{bc}+\frac{c^4}{ac}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{ab+bc+ac}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^2+b^2+c^2}=a^2+b^2+c^2\)
\(3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\Rightarrow\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}\ge a+b+c\)
\(\Rightarrow6=a+b+c+ab+bc+ac\le\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}+a^2+b^2+c^2\)
Đặt \(\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}=t\Rightarrow a^2+b^2+c^2=\frac{t^2}{3}\)
\(\Rightarrow t+\frac{t^2}{3}\ge6\Leftrightarrow3t+t^2-18\ge0\Leftrightarrow\left(t-3\right)\left(t+6\right)\ge0\)
\(\Rightarrow t-3\ge0\Rightarrow t\ge3\)( vì t + 6 > 0 )
\(\Rightarrow P\ge a^2+b^2+c^2=\frac{t^2}{3}\ge3\)
Vậy GTNN của P là 3 khi a = b = c = 1