K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

29 tháng 7 2020

Bài làm:

Ta có: \(a^2+2b^2+3=\left(a^2+b^2\right)+\left(b^2+1\right)+2\ge2ab+2b+2=2\left(ab+b+1\right)\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a^2+2b^2+3}\le\frac{1}{2\left(ab+b+1\right)}\)

Tương tự ta CM được:

\(\frac{1}{b^2+2c^2+3}\le\frac{1}{2\left(bc+c+1\right)}\)

\(\frac{1}{c^2+2a^2+3}\le\frac{1}{2\left(ca+a+1\right)}\)

Cộng vế 3 BĐT trên ta được:

\(VP\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ca+a+1}\right)\)

\(=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{ab}{ab^2c+abc+ab}+\frac{b}{abc+ab+b}\right)\)

\(=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{ab}{b+1+ab}+\frac{b}{1+ab+b}\right)\)

\(=\frac{1}{2}.\frac{ab+b+1}{ab+b+1}=\frac{1}{2}.1=\frac{1}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=c=1\)

29 tháng 7 2020

p/s : đéo biết làm thì câm mẹ mồm lại , loại súc vật như bạn ý thì cút khỏi olm cho sạch ạ !

Theo Cauchy ta dễ có : \(b^2+1\ge2\sqrt{b^2}=2b\)

\(a^2+b^2\ge2\sqrt{a^2b^2}=2ab\)

Khi đó  : \(\frac{1}{a^2+2b^2+3}\le\frac{1}{2+2b+2ab}=\frac{1}{2\left(ab+b+1\right)}\)

Bằng cách chứng minh tương tự rồi cộng theo vế các bđt cùng chiều thì ta được : 

\(VT\le\frac{1}{2}.\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{2}.\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{2}.\frac{1}{ca+a+1}=\frac{1}{2}.\left(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ca+a+1}\right)\)

Đặt \(A=\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ca+a+1}=\frac{ac}{abc.c+abc+ac}+\frac{a}{abc+ca+1}+\frac{1}{ca+a+1}=1\)

Từ đó ta thu được \(VT\le\frac{1}{2}.1=\frac{1}{2}\)hay \(\frac{1}{a^2+2b^2+3}+\frac{1}{b^2+2c^2+3}+\frac{1}{c^2+2a^2+3}\le1\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=1\)

Vậy ta có điều phải chứng minh

16 tháng 6 2018

Ta có: \(a^2+b^2\ge2ab;b^2+1\ge2b\Rightarrow a^2+2b^2+3\ge2\left(ab+b+1\right)\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a^3+2b^2+3}\le\frac{1}{2\left(ab+b+1\right)}\)

Tương tự ta cũng có: 

\(\frac{1}{a^2+2b^2+3}+\frac{1}{b^2+2c^2+3}+\frac{1}{c^2+2a^2+3}\le\)\(\frac{1}{2}\left(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+b+1}+\frac{1}{ca+a+1}\right)\)

Mà: \(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ca+a+1}=\frac{1}{ab+b+1}+\)\(\frac{ab}{ab^2+abc+ab}+\frac{b}{bca+ab+b}=1\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a^2+2b^2+3}+\frac{1}{b^2+2c^2+3}+\frac{1}{c^2+2a^2+3}\le\frac{1}{2}\left(đpcm\right)\)\(\Leftrightarrow a=b=c=1\)

3 tháng 5 2016

Ta có :\(a^2+2b^2+3=\left(a^2+b^2\right)+\left(b^2+1\right)+2\)\(>=2ab+2b+2=2\left(ab+b+1\right)\)

tương tự ta được \(b^2+2c^2+3>=2\left(bc+c+1\right)\)

                          \(c^2+2a^2+3>=2\left(ac+a+1\right)\)

theo đề bài abc=1

=> \(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ca+a+1}\)=\(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{ab}{b+ab+1}+\frac{b}{ab+b+1}\)=1

=> VT<=1/2 

Dấu bằng khi a=b=c=1

3 tháng 5 2016

Ta có :$a^2+2b^2+3=\left(a^2+b^2\right)+\left(b^2+1\right)+2$a2+2b2+3=(a2+b2)+(b2+1)+2$>=2ab+2b+2=2\left(ab+b+1\right)$>=2ab+2b+2=2(ab+b+1)

tương tự ta được $b^2+2c^2+3>=2\left(bc+c+1\right)$b2+2c2+3>=2(bc+c+1)

                          $c^2+2a^2+3>=2\left(ac+a+1\right)$c2+2a2+3>=2(ac+a+1)

theo đề bài abc=1

=> $\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ca+a+1}$1ab+b+1 +1bc+c+1 +1ca+a+1 =$\frac{1}{ab+b+1}+\frac{ab}{b+ab+1}+\frac{b}{ab+b+1}$1ab+b+1 +abb+ab+1 +bab+b+1 =1

=> VT<=1/2 

Dấu bằng khi a=b=c=1

22 tháng 4 2018

Ngược dấu rồi

22 tháng 4 2018

Mk sửa r đó. H giúp mk vs. Cảm ơn

6 tháng 7 2016

Trả lời hộ mình đi

Áp dụng BĐT Cô-si ta có:

\(a^2+b^2\ge2ab;b^2+1^2\ge2b\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+b^2+1+2\ge2ab+2b+2\)

\(\Rightarrow a^2+2b^2+3\ge2\left(ab+b+1\right)\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a^2+2b^2+3}\le\frac{1}{2\left(ab+b+1\right)}=\frac{1}{2}.\frac{1}{ab+b+1}\)

chứng minh tương tự

\(\Rightarrow\frac{1}{b^2+2c^2+3}\le\frac{1}{2}.\frac{1}{bc+c+1};\frac{1}{c^2+2a^2+3}\le\frac{1}{2}.\frac{1}{ac+a+1}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a^2+2b^2+3}+\frac{1}{b^2+2c^2+3}+\frac{1}{c^2+2a^2+3}\le\frac{1}{2}.\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{2}.\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{2}.\frac{1}{ac+a+1}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a^2+2b^2+3}+\frac{1}{b^2+2c^2+3}+\frac{1}{c^2+2a^2+3}\le\frac{1}{2}.\left(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ac+a+1}\right)\)

đặt \(A=\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ac+a+1}\)

\(=\frac{ac}{a^2bc+abc+ac}+\frac{a}{abc+ac+a}+\frac{1}{ac+a+1}\)

\(=\frac{ac}{ac+a+1}+\frac{a}{ac+a+1}+\frac{1}{ac+a+1}=\frac{ac+a+1}{ac+a+1}=1\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a^2+2b^2+3}+\frac{1}{b^2+2c^2+3}+\frac{1}{c^2+2a^2+3}\le\frac{1}{2}.1=2\)

=>đpcm

30 tháng 4 2016
Bài này mk giải được nè chiều mk giải cho nha
13 tháng 5 2017

Xem câu hỏi

21 tháng 3 2017

Bài này chả khó với lại đầy người đăng rồi

Ta có: \(a^2+b^2\ge2ab\) và \(b^2+1\ge2b\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+b^2+1+2\ge2ab+2b+2=2\left(ab+b+1\right)\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a^2+2b^2+3}\le\frac{1}{2ab+2b+2}=\frac{1}{2\left(ab+b+1\right)}\left(1\right)\)

Tương tự ta có: \(\frac{1}{b^2+2c^2+3}\le\frac{1}{2\left(bc+c+1\right)}\left(2\right);\frac{1}{c^2+2a^2+3}\le\frac{1}{2\left(ac+a+1\right)}\left(3\right)\)

Cộng theo vế của \(\left(1\right);\left(2\right);\left(3\right)\) ta có:

\(VT\le\frac{1}{2\left(ab+b+1\right)}+\frac{1}{2\left(bc+c+1\right)}+\frac{1}{2\left(ac+a+1\right)}\)

\(=\frac{1}{2}\left(\frac{ac}{a^2bc+abc+ac}+\frac{a}{abc+ac+a}+\frac{1}{ac+a+1}\right)\)

\(=\frac{1}{2}\left(\frac{ac}{ac+a+1}+\frac{a}{ac+a+1}+\frac{1}{ac+a+1}\right)\left(abc=1\right)\)

\(=\frac{1}{2}\left(\frac{ac+a+1}{ac+a+1}\right)=\frac{1}{2}=VP\) (ĐPCM)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

21 tháng 3 2017

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1/3

Bài này không khó! Sao lại được vào câu hỏi hay?