![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Câu hỏi của Hattory Heiji - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Ta có:
\(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}\ge\dfrac{4}{a+2b+c}\ge\dfrac{4}{\dfrac{a^2+1}{2}+b^2+1+\dfrac{c^2+1}{2}}=\dfrac{8}{b^2+7}\)
Tương tự
\(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{a+c}\ge\dfrac{8}{a^2+7}\)
\(\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+c}\ge\dfrac{8}{c^2+7}\)
Cộng vế:
\(2\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right)\ge\dfrac{8}{a^2+7}+\dfrac{8}{b^2+7}+\dfrac{8}{c^2+7}\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\ge\dfrac{4}{a^2+7}+\dfrac{4}{b^2+7}+\dfrac{4}{c^2+7}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
áp dụng BDT AM-GM
\(=>a^2+b^2+c^2\ge3\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}\)
\(=>1\ge3\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}=>1\ge27\left(abc\right)^2\)\(=>27\left(abc\right)^2\le1=>3\left(abc\right)^2\le\dfrac{1}{9}=>\left(abc\right)^2\le\dfrac{1}{27}=>abc\le\dfrac{1}{3\sqrt{3}}\)
\(=>\dfrac{8}{9abc}\ge\dfrac{8}{9.\dfrac{1}{3\sqrt{3}}}=\dfrac{8\sqrt{3}}{3}\)
\(S=a+b+c+\dfrac{1}{abc}=a+b+c+\dfrac{1}{9abc}+\dfrac{8}{9abc}\)
\(=>a+b+c+\dfrac{1}{9abc}\ge4\sqrt[4]{\dfrac{1}{9}}=\dfrac{4}{\sqrt{3}}\)
\(=>S\ge\dfrac{4}{\sqrt{3}}+\dfrac{8}{\sqrt{3}}=4\sqrt{3}\)
dấu"=" xyar ra<=>a=b=c=\(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)
Các bn mà cop thì nhớ giải thích giúp mik đoạn \(a^2+b^2+c^2\ge3\sqrt[3]{abc}\) với
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
- Nếu \(abc\ge0\Rightarrow a^2+b^2+c^2+abc\ge0\) dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=0\)
- Nếu \(abc< 0\Rightarrow\) trong 3 số a; b; c có ít nhất 1 số âm
Không mất tính tổng quát, giả sử \(c< 0\Rightarrow ab>0\)
Mà \(\left\{{}\begin{matrix}-2\le c< 0\\ab>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow abc\ge-2ab\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+abc\ge a^2+b^2-2ab+c^2=\left(a-b\right)^2+c^2>0\) (không thỏa mãn)
Vậy \(a=b=c=0\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(\)Ta có: \(a+b+c=0 \Rightarrow b+c=-a \Rightarrow (b+c)^2=(-a)^2 \Leftrightarrow b^2+c^2+2bc=a^2 \Leftrightarrow a^2-b^2-c^2=2bc\)
Tương tự: \(b^2-c^2-a^2=2ca;c^2-a^2-b^2=2ab\)
\(P=...=\dfrac{a^2}{2bc}+\dfrac{b^2}{2ca}+\dfrac{c^2}{2bc}=\dfrac{a^3+b^3+c^3}{2abc}=\dfrac{3abc}{2abc}=\dfrac{3}{2}\)
----
Bổ đề \(a+b+c=0 \Leftrightarrow a^3+b^3+c^3\)
Ở đây ta c/m chiều thuận:
Với \(a+b+c=0 \Leftrightarrow a+b=-c \Rightarrow (a+b)^3=(-c)^3 \Leftrightarrow a^3+b^3+3ab(a+b)=-c^3 \Leftrightarrow a^3+b^3+c^3=3abc(QED)\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)