Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\frac{1}{m-2a}+\frac{1}{m-2b}+\frac{1}{m-2c}=\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}+\frac{1}{a+b-c}\)
áp dụng bđt cô si ta có:
\(\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{4}{b+c-a+c+a-b}=\frac{4}{2c}=\frac{2}{c}\)
\(\frac{1}{c+a-b}+\frac{1}{a+b-c}\ge\frac{4}{c+a-b+a+b-c}=\frac{4}{2a}=\frac{2}{a}\)
\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\ge\frac{4}{a+b-c+b+c-a}=\frac{4}{2b}=\frac{2}{b}\)
\(\Rightarrow2\left(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\right)\ge\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{m-2a}+\frac{1}{m-2b}+\frac{1}{m-2c}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\left(Q.E.D\right)\)
dấu = xảy ra khi a=b=c
a/ BĐT sai, cho \(a=b=c=2\) là thấy
b/ \(VT=\frac{a^4}{a^2+2ab}+\frac{b^4}{b^2+2bc}+\frac{c^4}{c^2+2ac}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2}=\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)}{\left(a+b+c\right)^2}\)
\(VT\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a+b+c\right)^2}{3\left(a+b+c\right)^2}=\frac{1}{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
c/ Tiếp tục sai nữa, vế phải là \(\frac{3}{2}\) chứ ko phải \(2\), và hy vọng rằng a;b;c dương
\(VT=\frac{a^2}{abc.b+a}+\frac{b^2}{abc.c+b}+\frac{c^2}{abc.a+c}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{abc\left(a+b+c\right)+a+b+c}\)
\(VT\ge\frac{9}{3abc+3}\ge\frac{9}{\frac{3\left(a+b+c\right)^3}{27}+3}=\frac{9}{\frac{3.3^3}{27}+3}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Ta có:
\(a^3+b^3+b^3\ge3ab^2\) ; \(b^3+c^3+c^3\ge3bc^2\) ; \(c^3+a^3+a^3\ge3ca^2\)
Cộng vế với vế \(\Rightarrow a^3+b^3+c^3\ge ab^2+bc^2+ca^2\)
\(\frac{a^5}{b^2}+\frac{b^5}{c^2}+\frac{c^5}{a^2}=\frac{a^6}{ab^2}+\frac{b^6}{bc^2}+\frac{c^6}{ca^2}\ge\frac{\left(a^3+b^3+c^3\right)^2}{ab^2+bc^2+ca^2}\ge\frac{\left(a^3+b^3+c^3\right)^2}{a^3+b^3+c^3}=a^3+b^3+c^3\)
Bài 3)
BĐT cần chứng minh tương đương với:
\(\left ( \frac{a}{a+b} \right )^2+\left ( \frac{b}{b+c} \right )^2+\left ( \frac{c}{c+a} \right )^2\geq \frac{1}{2}\left ( 3-\frac{a}{a+b}-\frac{b}{b+c}-\frac{c}{c+a} \right )\)
Để cho gọn, đặt \((x,y,z)=\left (\frac{b}{a},\frac{c}{b},\frac{a}{c}\right)\) \(\Rightarrow xyz=1\).
BĐT được viết lại như sau:
\(A=2\left [ \frac{1}{(x+1)^2}+\frac{1}{(y+1)^2}+\frac{1}{(z+1)^2} \right ]+\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\geq 3\) \((\star)\)
Ta nhớ đến hai bổ đề khá quen thuộc sau:
Bổ đề 1: Với \(a,b>0\) thì \(\frac{1}{(a+1)^2}+\frac{1}{(b+1)^2}\geq \frac{1}{ab+1}\)
Cách CM rất đơn giản, Cauchy - Schwarz:
\((a+1)^2\leq (a+b)(a+\frac{1}{b})\Rightarrow \frac{1}{(a+1)^2}\geq \frac{b}{(a+b)(ab+1)}\)
Tương tự với biểu thức còn lại và cộng vào thu được đpcm
Bổ đề 2: Với \(x,y>0,xy\geq 1\) thì \(\frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{y^2+1}\geq \frac{2}{xy+1}\)
Cách CM: Quy đồng ta có đpcm.
Do tính hoán vị nên không mất tổng quát giả sử \(z=\min (x,y,z)\)
\(\Rightarrow xy\geq 1\). Áp dụng hai bổ đề trên:
\(A\geq 2\left [ \frac{1}{xy+1}+\frac{1}{(z+1)^2} \right ]+\frac{2}{\sqrt{xy}+1}+\frac{1}{z+1}=2\left [ \frac{z}{z+1}+\frac{1}{(z+1)^2} \right ]+\frac{2\sqrt{z}}{\sqrt{z}+1}+\frac{1}{z+1}\)
\(\Leftrightarrow A\geq \frac{2(z^2+z+1)}{(z+1)^2}+\frac{1}{z+1}+2-\frac{2}{\sqrt{z}+1}\geq 3\)
\(\Leftrightarrow 2\left [ \frac{z^2+z+1}{(z+1)^2}-\frac{3}{4} \right ]+\frac{1}{z+1}-\frac{1}{2}-\left ( \frac{2}{\sqrt{z}+1}-1 \right )\geq 0\)
\(\Leftrightarrow \frac{(z-1)^2}{2(z+1)^2}-\frac{z-1}{2(z+1)}+\frac{z-1}{(\sqrt{z}+1)^2}\geq 0\Leftrightarrow (z-1)\left [ \frac{1}{(\sqrt{z}+1)^2}-\frac{1}{(z+1)^2} \right ]\geq 0\)
\(\Leftrightarrow \frac{\sqrt{z}(\sqrt{z}-1)^2(\sqrt{z}+1)(z+\sqrt{z}+2)}{(\sqrt{z}+1)^2(z+1)^2}\geq 0\) ( luôn đúng với mọi \(z>0\) )
Do đó \((\star)\) được cm. Bài toán hoàn tất.
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c\)
P/s: Nghỉ tuyển lâu rồi giờ mới gặp mấy bài BĐT phải động não. Khuya rồi nên xin phép làm bài 3 trước. Hai bài kia xin khiếu. Nếu làm đc chắc tối mai sẽ post.
Bài 1:
Cho \(a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\). Khi đó \(M=\sqrt{3}-2\)
Ta sẽ chứng minh nó là giá trị nhỏ nhất
Thật vậy, đặt c là giá trị nhỏ nhất của a,b,c. Khi đó, ta cần chứng minh
\(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}-\frac{2(a^2+b^2+c^2)}{\sqrt{ab+ac+bc}}\geq(\sqrt3-2)\sqrt{ab+ac+bc}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{ab+ac+bc}\left(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}-\sqrt{3(ab+ac+bc)}\right)\geq2(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{a}-a-b+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}-\frac{b^2}{a}-c+a+b+c-\sqrt{3(ab+ac+bc)}\geq\)
\(\geq2((a-b)^2+(c-a)(c-b))\)
\(\Leftrightarrow(a-b)^2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-2\right)+(c-a)(c-b)\left(\frac{1}{a}+\frac{b}{ac}-2\right)+a+b+c-\sqrt{3(ab+ac+bc)}\geq0\)
Đúng bởi \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-2>0;\frac{1}{a}+\frac{b}{ac}-2\geq\frac{1}{a}+\frac{1}{a}-2>0\) và
\(a+b+c-\sqrt{3(ab+ac+bc)}=\frac{(a-b)^2+(c-a)(c-b)}{a+b+c+\sqrt{3(ab+ac+bc)}}\geq0\)
BĐT đã được c/m. Vậy \(M_{Min}=\sqrt{3}-2\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)
P/s: Nhìn qua thấy ngon mà làm mới thấy thật sự là "choáng"
\(L.H.S\left(VT\right)\ge\frac{\left[2\left(a+b+c\right)-3\right]^2}{\Sigma\left(2a-1\right)\left(1+bc\right)}=\frac{9}{\Sigma\left(2a-1\right)\left(1+bc\right)}\).
Như vậy ta cần chứng minh:
\(\Sigma\left(2a-1\right)\left(1+bc\right)\le6\)
\(\Leftrightarrow\Sigma\left(2a-1\right)\left(1+bc\right)\le\frac{2\left(a+b+c\right)^3}{9}\)
\(\Leftrightarrow9\Sigma\left(2a-1\right)\left(1+bc\right)\le2\left(a+b+c\right)^3\)
\(\Leftrightarrow2\Sigma a^3+6.\Sigma ab\left(a+b\right)+9\Sigma ab+27-18\Sigma a-42abc\ge0\)
Đặt \(a+b+c=p=3;ab+bc+ca=q>\frac{3}{4};abc=r>\frac{1}{8}\). Cần chứng minh:
\(2\left(p^3-3pq+3r\right)+6\left(pq-3r\right)+9q+27-18p-42r\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(2p^3-54r\right)+9q-18p+27\ge0\)
\(\Leftrightarrow2\left(p^3-27r\right)+9\left(q-\frac{p^2}{3}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow2\left[\left(a+b+c\right)^3-27abc\right]-3\left(\left(a+b+c\right)^2-3\left(ab+bc+ca\right)\right)\ge0\)
Bây giờ thì dùng sos nào:
Chú ý các đẳng thức: \(\left(a+b+c\right)^3-27abc=\Sigma\frac{a+b+7c}{2}\left(a-b\right)^2\)
\(\left(a+b+c\right)^2-3\left(ab+bc+ca\right)=\Sigma\frac{1}{2}\left(a-b\right)^2\)
Như vậy ta chỉ cần chứng minh:
\(\Sigma\left(a+b+7c\right)\left(a-b\right)^2-\Sigma\frac{3}{2}\left(a-b\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\Sigma\left(a-b\right)^2\left(a+b+7c-\frac{3}{2}\right)\ge0\)
Và BĐT này là đúng bởi vì: \(a+b+7c-\frac{3}{2}=6c+\frac{3}{2}>0\) rồi tương tự các cái kia:v
Ta có đpcm.
P/s: Em có tính nhầm chỗ nào ko nhỉ:)) nếu ko thì em rất hóng có gp:D
\(a+b=1-c>\frac{1}{2}>c\)
Tương tự \(b+c>a;a+c>b\)
\(VT=\frac{1}{a\left(b+c-a\right)}+\frac{1}{b\left(a+c-b\right)}+\frac{1}{c\left(a+b-c\right)}\)
\(VT\ge\frac{4}{\left(a+b+c-a\right)^2}+\frac{4}{\left(b+a+c-b\right)^2}+\frac{4}{\left(c+a+b-c\right)^2}\)
\(VT\ge\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+\frac{4}{\left(b+c\right)^2}+\frac{4}{\left(c+a\right)^2}\ge\frac{4}{3}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)^2\)
\(VT\ge\frac{4}{3}\left(\frac{9}{2\left(a+b+c\right)}\right)^2=\frac{4.81}{3.4}=27\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
\(\frac{1}{3a}+\frac{1}{3b}\ge\frac{1}{2a+b}+\frac{1}{2b+a}\)
dự đoán dấu = xảy ra khi a=b=1
áp dụng cô si cho VT ta có
\(\frac{1}{3a}+\frac{3a}{9}\ge2\sqrt{\frac{3a}{3a.9}}=\frac{2}{3}\)
\(\frac{1}{3b}+\frac{3b}{9}\ge2\sqrt{\frac{3b}{3b.9}}=\frac{2}{3}\)
+ vế với vế ta được
\(VT+\frac{1}{3}\left(a+b\right)\ge\frac{4}{3}\) (1)
áp dụng cô si cho VP ta được
\(\frac{1}{2a+b}+\frac{\left(2a+b\right)}{9}\ge2\sqrt{\frac{\left(2a+b\right)}{\left(2a+b\right).9}}=\frac{2}{3}\)
\(\frac{1}{2b+a}+\frac{\left(2b+a\right)}{9}\ge2\sqrt{\frac{\left(2b+a\right)}{\left(2b+a\right).9}}=\frac{2}{3}\)
\(VP+\frac{1}{3}\left(a+b\right)\ge\frac{4}{3}\) (2)
Từ 1 và 2 \(VT\ge VP...."="\rightarrow a=b=1\)
Đề bài này chỉ đúng khi a;b;c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác
Nếu đề đúng như thế thì chứng minh như sau:
\(VT=\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{a+c-b}+\frac{1}{b+c-a}\)
Ta có: \(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{a+c-b}\ge\frac{4}{2a}=\frac{2}{a}\)
\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\ge\frac{2}{b}\) ; \(\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{a+c-b}\ge\frac{2}{c}\)
Cộng vế với vế:
\(2VT\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\Rightarrow VT\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)