Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
bạn biết bđt svác sơ chứ nếu không biết có thể lên mạng tra
Áp dụng bđt svác sơ ta có
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}\ge\frac{9}{a+2b};\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{b+2c};\frac{1}{c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{a}\ge\frac{9}{c+2a}\)
cộng vào ta có
\(3\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\left(\frac{1}{a+2b}+\frac{1}{b+2c}+\frac{1}{c+2a}\right)\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\left(\frac{1}{a+2b}+\frac{1}{b+2c}+\frac{1}{c+2a}\right)\)
Thêm câu nữa bạn
Rút gọn
\(P=\frac{x^2}{xy+y^2}+\frac{y^2}{xy-x^2}-\frac{x^2+y^2}{xy}\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Xét a = b = c = 1 thì thỏa mãn bài ra
Xét a ,b,c khác 1. do a,b,c có vai trò như nhau nên giả sử \(a\le b\le c\)
Áp dụng BĐT cô-si cho 3 số a+b+1,1-a,1-b, ta có :
\(\left(a+b+1\right)\left(1-a\right)\left(1-b\right)\le\left(\frac{a+b+1+1-a+1-b}{3}\right)^3=1\)
\(\Rightarrow\left(1-a\right)\left(1-b\right)\le\frac{1}{a+b+1}\)
\(\Rightarrow\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\le\frac{1-c}{a+b+1}\)
Mà \(\frac{a}{b+c+1}\le\frac{a}{a+b+1};\frac{b}{a+c+1}\le\frac{b}{a+b+1}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b+c+1}+\frac{b}{a+c+1}+\frac{c}{a+b+1}\le\frac{a}{a+b+1}+\frac{b}{a+b+1}+\frac{c}{a+b+1}\)
do đó : \(\frac{a}{b+c+1}+\frac{b}{a+c+1}+\frac{c}{a+b+1}+\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\)
\(\le\frac{a+b+c}{a+b+1}+\frac{1-c}{a+b+1}=1\)
dấu " = " xảy ra khi a = b = c = 0
vậy ...
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow\)\(a+b+c\ge3\left(\frac{ab+bc+ca}{a+b+c}\right)\)
\(\Leftrightarrow\)\(a+b+c\ge3\left(\frac{ab}{abc}+\frac{bc}{abc}+\frac{ca}{abc}\right)\)
\(\Leftrightarrow\)\(a+b+c\ge3\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\sqrt{3}\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Đặt \(a=\frac{1}{x}\), \(b=\frac{1}{y}\), \(c=\frac{1}{z}\) ta có: \(xy+yz+zx=1\)
Ta thấy \(x+y+z\ge\sqrt{3.\left(xy+yz+zx\right)}=\sqrt{3}\)
Áp dụng BĐT Cauchy- Schwarz ta có:
\(\frac{x}{yz+1}+\frac{y}{zx+1}+\frac{z}{xy+1}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3xyz+x+y+z}=\frac{\left(x+y+z\right)^3}{3xyz.\left(x+y+z\right)+\left(x+y+z\right)^2}\)
\(\ge\frac{\left(x+y+z\right)^3}{\left(xy+yz+zx\right)^2+\left(x+y+z\right)^2}=\frac{\left(x+y+z\right)^3}{1+\left(x+y+z\right)^2}\)
\(=\frac{\left(x+y+z-\sqrt{3}\right).\left[4.\left(x+y+z\right)^2+\sqrt{3}\left(x+y+z\right)^2+3\right]}{4.\left[1+\left(x+y+z\right)^2\right]}+\frac{3\sqrt{3}}{4}\)
\(\ge\frac{3\sqrt{3}}{4}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{1}{x}=\frac{1}{y}=\frac{1}{z}=\sqrt{3}\)hay \(a=b=c=\sqrt{3}\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
1. Phương pháp 1: ( Hình 1)
Nếu thì ba điểm A; B; C thẳng hàng.
2. Phương pháp 2: ( Hình 2)
Nếu AB // a và AC // a thì ba điểm A; B; C thẳng hàng.
(Cơ sở của phương pháp này là: tiên đề Ơ – Clit- tiết 8- hình 7)
3. Phương pháp 3: ( Hình 3)
Nếu AB
a ; AC
A thì ba điểm A; B; C thẳng hàng.
( Cơ sở của phương pháp này là: Có một và chỉ một đường thẳng
a’ đi qua điểm O và vuông góc với đường thẳng a cho trước
- tiết 3 hình học 7)
Hoặc A; B; C cùng thuộc một đường trung trực của một
đoạn thẳng .(tiết 3- hình 7)
4. Phương pháp 4: ( Hình 4)
Nếu tia OA và tia OB là hai tia phân giác của góc xOy
thì ba điểm O; A; B thẳng hàng.
Cơ sở của phương pháp này là:
Mỗi góc có một và chỉ một tia phân giác .
* Hoặc : Hai tia OA và OB cùng nằm trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox ,
thì ba điểm O, A, B thẳng hàng.
5. Nếu K là trung điểm BD, K’ là giao điểm của BD và AC. Nếu K’
Là trung điểm BD thì K’ K thì A, K, C thẳng hàng.
(Cơ sở của phương pháp này là: Mỗi đoạn thẳng chỉ có một trung điểm)
C. Các ví dụ minh họa cho tùng phương pháp:
Phương pháp 1
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC vuông ở A, M là trung điểm AC. Kẻ tia Cx vuông góc CA
(tia Cx và điểm B ở hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ AC). Trên tia Cx lấy điểm
D sao cho CD = AB.
Chứng minh ba điểm B, M, D thẳng hàng.
Gợi ý: Muốn B, M, D thẳng hàng cần chứng minh
Do nên cần chứng minh
BÀI GIẢI:
AMB và
CMD có:
AB = DC (gt).
MA = MC (M là trung điểm AC)
Do đó: AMB =
CMD (c.g.c). Suy ra:
Mà (kề bù) nên
.
Vậy ba điểm B; M; D thẳng hàng.
Ví dụ 2. Cho tam giác ABC. Trên tia đối của AB lấy điểm D mà AD = AB, trên tia đối
tia AC lấy điểm E mà AE = AC. Gọi M; N lần lượt là các điểm trên BC và ED
sao cho CM = EN.
Chứng minh ba điểm M; A; N thẳng hàng.
Gợi ý: Chứng minh từ đó suy ra ba điểm M; A; N thẳng hàng.
BÀI GIẢI (Sơ lược)
ABC =
ADE (c.g.c)
ACM =
AEN (c.g.c)
Mà (vì ba điểm E; A; C thẳng hàng) nên
Vậy ba điểm M; A; N thẳng hàng (đpcm)
BÀI TẬP THỰC HÀNH CHO PHƯƠNG PHÁP 1
Bài 1: Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AC, trên tia đối
của tia AC lấy điểm E sao cho AE = AB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BE và
CD.
Chứng minh ba điểm M, A, N thẳng hàng.
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông ở A có . Vẽ tia Cx
BC (tia Cx và điểm A ở
phía ở cùng phía bờ BC), trên tia Cx lấy điểm E sao cho CE = CA. Trên tia đối của tia
BC lấy điểm F sao cho BF = BA.
Chứng minh ba điểm E, A, F thẳng hàng.
Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại A, điểm D thuộc cạnh AB. Trên tia đối của tia CA lấy điểm
E sao cho CE = BD. Kẻ DH và EK vuông góc với BC (H và K thuộc đường thẳng BC)
Gọi M là trung điểm HK.
Chứng minh ba điểm D, M, E thẳng hàng.
Bài 4: Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AB. Trên hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ AB, kẻ
Hai tia Ax và By sao cho .Trên Ax lấy hai điểm C và E(E nằm giữa A và C),
trên By lấy hai điểm D và F ( F nằm giữa B và D) sao cho AC = BD, AE = BF.
Chứng minh ba điểm C, O, D thẳng hàng , ba điểm E, O, F thẳng hàng.
Bài 5.Cho tam giác ABC . Qua A vẽ đường thẳng xy // BC. Từ điểm M trên cạnh BC, vẽ các
đường thẳng song song AB và AC, các đường thẳng này cắt xy theo thứ tự tại D và E.
Chứng minh các đường thẳng AM, BD, CE cùng đi qua một điểm.
PHƯƠNG PHÁP 2
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, AB. Trên
Các đường thẳng BM và CN lần lượt lấy các điểm D và E sao cho M là trung
điểm BD và N là trung điểm EC.
Chứng minh ba điểm E, A, D thẳng hàng.
Hướng dẫn: Xử dụng phương pháp 2
Ta chứng minh AD // BC và AE // BC.
BÀI GIẢI.
BMC và
DMA có:
MC = MA (do M là trung điểm AC)
(hai góc đối đỉnh)
MB = MD (do M là trung điểm BD)
Vậy: BMC =
DMA (c.g.c)
Suy ra: , hai góc này ở vị trí so le trong nên BC // AD (1)
Chứng minh tương tự : BC // AE (2)
Điểm A ở ngoài BC có một và chỉ một đường thẳng song song BC nên từ (1)
và (2) và theo Tiên đề Ơ-Clit suy ra ba điểm E, A, D thẳng hàng.
Ví dụ 2: Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tai trung điểm O của mỗi đoạn. Trên tia
AB lấy lấy điểm M sao cho B là trung điểm AM, trên tia AD lấy điểm N sao cho
D là trung điểm AN.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(\frac{1}{a}-1=\frac{a+b+c}{a}-\frac{a}{a}=\frac{b+c}{a}\)
Tương tự : \(\frac{1}{b}-1=\frac{c+a}{b};\frac{1}{c}-1=\frac{a+b}{c}\)
Nhân theo vế ta đc :
\(VT=\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{abc}\)
Áp dụng bđt Cauchy :
\(VT\ge\frac{8abc}{abc}=8\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)