PT
2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
6 tháng 5 2022
Xét \(\dfrac{a}{a^2+1}+\dfrac{3\left(a-2\right)}{25}-\dfrac{2}{5}=\dfrac{a}{a^2+1}+\dfrac{3a-16}{25}=\dfrac{\left(3a-4\right)\left(a-2\right)^2}{25\left(a^2+1\right)}\ge0\)
\(\Rightarrow\dfrac{a}{a^2+1}\ge\dfrac{2}{5}-\dfrac{3\left(a-2\right)}{25}\)
CMTT \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{b}{b^2+1}\ge\dfrac{2}{5}-\dfrac{3\left(b-2\right)}{25}\\\dfrac{c}{c^2+1}\ge\dfrac{2}{5}-\dfrac{3\left(c-2\right)}{25}\end{matrix}\right.\)
Cộng vế theo vế:
\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{2}{5}+\dfrac{2}{5}+\dfrac{2}{5}-\dfrac{3\left(a-2\right)+3\left(b-2\right)+3\left(c-2\right)}{25}\ge\dfrac{6}{5}-\dfrac{3\left(a+b+c-6\right)}{25}=\dfrac{6}{5}\)
Dấu \("="\Leftrightarrow a=b=c=2\)
3 tháng 1 2019
3/ Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có :
\(\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}\ge2\sqrt{\dfrac{\left(ab\right)^2}{\left(bc\right)^2}}=\dfrac{2a}{c}\)
\(\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}\ge2\sqrt{\dfrac{\left(bc\right)^2}{\left(ac\right)^2}}=\dfrac{2b}{a}\)
\(\dfrac{c^2}{a^2}+\dfrac{a^2}{b^2}\ge2\sqrt{\dfrac{\left(ac\right)^2}{\left(ab\right)^2}}=\dfrac{2c}{b}\)
Cộng 3 vế của BĐT trên ta có :
\(2\left(\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}\right)\ge2\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}\ge\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\left(\text{đpcm}\right)\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
4 tháng 1 2019
Bài 1:
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ac}+\frac{1}{c^2+ab}\leq \frac{1}{2\sqrt{a^2.bc}}+\frac{1}{2\sqrt{b^2.ac}}+\frac{1}{2\sqrt{c^2.ab}}=\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}}{2abc}\)
Tiếp tục áp dụng BĐT AM-GM:
\(\sqrt{bc}+\sqrt{ac}+\sqrt{ab}\leq \frac{b+c}{2}+\frac{c+a}{2}+\frac{a+b}{2}=a+b+c\)
Do đó:
\(\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ac}+\frac{1}{c^2+ab}\leq \frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{2abc}\leq \frac{a+b+c}{2abc}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$
13 tháng 2 2019
Áp dụng BĐT AM - GM ta có:
$ \frac{a^3}{(1 + b)(1 + c)} + \frac{1 + b}{8} + \frac{1 + c}{8} \geq \frac{3}{4}a$
$\frac{b^3}{(1 + c)(1 + a)} + \frac{1 + c}{8} + \frac{1 + a}{8} \geq \frac{3}{4}b$
$\frac{c^3}{(1 + a)(1 + b)} + \frac{1 + a}{8} + \frac{1 + b}{8} \geq \frac{3}{4}c $
Cộng vế theo vế ta được:
$ P + \frac{2(a + b + c) + 6}{8} \geq \frac{3}{4}(a + b + c) $
$<=> P \geq \frac{1}{2}(a + b + c) - \frac{3}{4}$
$=> P \geq \frac{3}{4} (dpcm)$
HN
4 tháng 12 2017
\(A=\dfrac{a^6}{b^3}+\dfrac{b^6}{c^3}+\dfrac{c^6}{a^3}=\dfrac{1}{3}\left[\left(\dfrac{a^6}{b^3}+\dfrac{a^6}{b^3}+\dfrac{b^6}{c^3}\right)+\left(\dfrac{b^6}{c^3}+\dfrac{b^6}{c^3}+\dfrac{c^6}{a^3}\right)+\left(\dfrac{c^6}{a^3}+\dfrac{c^6}{a^3}+\dfrac{a^6}{b^3}\right)\right]\)
\(\ge\dfrac{1}{3}.3.\left(\dfrac{a^4}{c}+\dfrac{b^4}{a}+\dfrac{c^4}{b}\right)=\dfrac{a^4}{c}+\dfrac{b^4}{a}+\dfrac{c^4}{b}\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
18 tháng 9 2021
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\frac{a^5}{b^2(c+3)}+\frac{b(c+3)}{16}+\frac{ab}{4}\geq \frac{3}{4}a^2\)
Tương tự với các phân thức còn lại và cộng theo vế:
\(A+\frac{5}{16}ab+\frac{3(a+b+c)}{16}\geq \frac{3}{4}(a^2+b^2+c^2)\)
Mà theo BĐT AM-GM dễ thấy \(a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ac\Rightarrow A\geq \frac{7}{16}(a^2+b^2+c^2)-\frac{3}{16}(a+b+c)\)
Áp dụng BĐT AM-GM tiếp:
$a^2+1\geq 2a; b^2+1\geq 2b; c^2+1\geq 2c$
$\Rightarrow a^2+b^2+c^2+3\geq 2(a+b+c)\geq a+b+c+3\sqrt[3]{abc}=a+b+c+3$
$\Rightarrow a^2+b^2+c^2\geq a+b+c\Rightarrow A\geq \frac{1}{4}(a+b+c)\geq \frac{1}{4}\sqrt[3]{abc}=\frac{3}{4}$
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$
AH
Akai Haruma
Giáo viên
18 tháng 9 2021
Mình vừa sửa lỗi công thức, bạn load lại để xem nhé.
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
18 tháng 9 2021
\(\dfrac{a^5}{b^2\left(c+3\right)}+\dfrac{b^2}{4}+\dfrac{a\left(c+3\right)}{16}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{a^6b^2\left(c+3\right)}{64b^2\left(c+3\right)}}=\dfrac{3}{4}a^2\)
Tương tự: \(\dfrac{b^5}{c^2\left(a+3\right)}+\dfrac{c^2}{4}+\dfrac{b\left(a+3\right)}{16}\ge\dfrac{3}{4}b^2\)
\(\dfrac{c^5}{a^2\left(b+3\right)}+\dfrac{a^2}{4}+\dfrac{c\left(b+3\right)}{16}\ge\dfrac{3}{4}c^2\)
Cộng vế:
\(A+\dfrac{a^2+b^2+c^4}{4}+\dfrac{ab+bc+ca}{16}+\dfrac{9}{16}\ge\dfrac{3}{4}\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(\Rightarrow A\ge\dfrac{1}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)-\dfrac{ab+bc+ca}{16}-\dfrac{9}{16}\ge\dfrac{1}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)-\dfrac{a^2+b^2+c^2}{16}-\dfrac{9}{16}\)
\(\Rightarrow A\ge\dfrac{7}{16}\left(a^2+b^2+c^2\right)-\dfrac{9}{16}\ge\dfrac{7}{16}.3\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}-\dfrac{9}{16}=\dfrac{3}{4}\) (đpcm)
5 tháng 12 2018
\(VT\ge\sum\left(\dfrac{a^3}{2a+b+c}\right)=\sum\left(\dfrac{a^3}{\sum a+a}\right)=\sum\dfrac{a^3}{3+a}\)
Ta có BĐT phụ :
\(\dfrac{a^3}{a+3}\ge\dfrac{11a-7}{16}\)(*)
\(\Leftrightarrow\left(16a+21\right)\left(a-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng với mọi a>0)
Áp dụng BĐT (*) ta có :
\(\sum\dfrac{a^3}{3+a}\ge\dfrac{11\sum a-21}{16}=\dfrac{33-21}{16}=\dfrac{12}{16}=\dfrac{3}{4}\)
5 tháng 12 2018
nhầm rồi , mình sorry , \(VT\ge\sum\left(\dfrac{2a^3}{2a+b+c}\right)=\sum\left(\dfrac{2a^3}{3+a}\right)\)
bạn chọn BĐT phụ là :
\(\dfrac{2a^3}{a+3}\ge\dfrac{11a-7}{8}\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
29 tháng 9 2017
Lời giải:
Áp dụng hệ quả của BĐT AM-GM:
\(\text{VT}^2=\left[\frac{1}{a(a+1)}+\frac{1}{b(b+1)}+\frac{1}{c(c+1)}\right]^2\geq 3\left(\frac{1}{ab(a+1)(b+1)}+\frac{1}{bc(b+1)(c+1)}+\frac{1}{ca(a+1)(c+1)}\right)\)
\(\Leftrightarrow \text{VT}^2\geq 3.\frac{a^2+b^2+c^2+a+b+c}{abc(a+1)(b+1)(c+1)}\geq 3.\frac{a+b+c+ab+bc+ac}{abc(a+1)(b+1)(c+1)}\)
\(\Leftrightarrow \text{VT}^2\geq \frac{3}{abc}-\frac{3(abc+1)}{abc(a+1)(b+1)(c+1)}\) \((1)\)
Ta sẽ cm \((a+1)(b+1)(c+1)\geq (1+\sqrt[3]{abc})^3\). Thật vậy:
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\geq 3\sqrt[3]{\frac{abc}{(a+1)(b+1)(c+1)}}\)
\(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{(a+1)(b+1)(c+1)}}\)
Cộng theo vế: \(\Rightarrow 3\geq \frac{3(\sqrt[3]{abc}+1)}{\sqrt[3]{(a+1)(b+1)(c+1)}}\)
\(\Rightarrow (a+1)(b+1)(c+1)\geq (\sqrt[3]{abc}+1)^3\) (2)
Từ \((1),(2)\Rightarrow \text{VT}^2\geq \frac{3}{abc}-\frac{3(abc+1)}{abc(1+\sqrt[3]{abc})^3}=\frac{9}{\sqrt[3]{a^2b^2c^2}(1+\sqrt[3]{abc})^2}=\text{VP}^2\)
\(\Leftrightarrow \text{VT}\geq \text{VP}\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Lời giải:
Ta có:
\(a^3+b^3+c^3=(a+b+c)^3-3(a+b)(b+c)(c+a)\)
\(=27-3(3-a)(3-b)(3-c)\)
\(=27-3[27-9(a+b+c)+3(ab+bc+ac)-abc]\)
\(=27-3[3(ab+bc+ac)-abc]=27-9(ab+bc+ac)+3abc\)
Do đó:
\(A=a^3+b^3+c^3+\frac{15}{4}abc=27-9(ab+bc+ac)+\frac{27}{4}abc(*)\)
Áp dụng BĐT Schur :
\(abc\geq (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\)
\(\Leftrightarrow abc\geq (3-2a)(3-2b)(3-2c)\)
\(\Leftrightarrow abc\geq 27-18(a+b+c)+12(ab+bc+ac)-8abc\)
\(\Leftrightarrow 9abc\geq 12(ab+bc+ac)-27\)
\(\Leftrightarrow 3abc\geq 4(ab+bc+ac)-9\)
\(\Rightarrow \frac{27}{4}abc\geq 9(ab+bc+ac)-\frac{81}{4}(**)\)
Từ \((*); (**)\Rightarrow A\geq 27-\frac{81}{4}=\frac{27}{4}\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Ta có:
a3+b3+