VT
2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
TT
28 tháng 2 2020
1) Tìm GTNN :
Ta có : \(\frac{x}{y+1}+\frac{y}{x+1}=\frac{x^2}{xy+x}+\frac{y^2}{xy+y}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2xy+\left(x+y\right)}\ge\frac{1}{\frac{\left(x+y\right)^2}{2}+1}=\frac{1}{\frac{1}{2}+1}=\frac{2}{3}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)
2) Áp dụng BĐT Svacxo ta có :
\(\frac{a^2}{1+b}+\frac{b^2}{1+c}+\frac{c^2}{1+a}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3+a+b+c}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
28 tháng 2 2020
2/ Áp dụng bđt Cô- si cho 2 số dương ta có :
\(\frac{a^2}{1+b}+\frac{1+b}{4}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{1+b}\frac{1+b}{4}}=a\)
Tương tự ta có \(\frac{b^2}{1+c}+\frac{1+c}{4}\ge b;\frac{c^2}{1+a}+\frac{1+a}{4}\ge c\)
\(\Rightarrow\frac{a^2}{1+b}+\frac{b^2}{1+c}+\frac{c^2}{1+a}\ge a+b+c-\left(\frac{1+b}{4}+\frac{1+c}{4}+\frac{1+a}{4}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{a^2}{1+b}+\frac{b^2}{1+c}+\frac{c^2}{1+a}\ge3-\frac{1}{4}\left(a+b+c\right)-\frac{3}{4}=3-\frac{1}{4}.3-\frac{3}{4}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c=1
TM
27 tháng 5 2017
Nhân cả 2 vế với a+b+c
Chứng minh \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\) tương tự với \(\frac{b}{c}+\frac{c}{b};\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2\ge0\Leftrightarrow\frac{a^2-2ab+b^2}{ab}\ge0\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}\ge0\)luôn đúng do a;b>0
dễ rồi nhé
TM
27 tháng 5 2017
b) \(P=\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}\)
\(P=\left(\frac{x+1}{x+1}+\frac{y+1}{y+1}+\frac{z+1}{z+1}\right)-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\)
\(P=\left(1+1+1\right)-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\)
\(P=3-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\)
Áp dụng bđt Cauchy Schwarz dạng Engel (mình nói bđt như vậy,chỗ này bạn cứ nói theo cái bđt đề bài cho đi) ta được:
\(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{x+1+y+1+z+1}=\frac{9}{4}\)
=>\(P=3-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\le3-\frac{9}{4}=\frac{3}{4}\)
=>Pmax=3/4 <=> x=y=z=1/3
TV
cho a,b,c>0 thỏa mãn a+b+c=1
tìm GTLN của P=\(\frac{ab}{c+1}\)+\(\frac{bc}{a+1}\)+\(\frac{ac}{b+1}\)
3
TN
18 tháng 4 2017
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\frac{ab}{c+1}=\frac{ab}{\left(c+a\right)+\left(b+c\right)}\le\frac{1}{4}\left(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}\right)\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta có:
\(\frac{bc}{a+1}\le\frac{1}{4}\left(\frac{bc}{a+b}+\frac{bc}{a+c}\right);\frac{ac}{b+1}\le\frac{1}{4}\left(\frac{ac}{a+b}+\frac{ac}{b+c}\right)\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(P\le\frac{1}{4}\left[\left(\frac{ab}{b+c}+\frac{ac}{b+c}\right)+\left(\frac{ab}{a+c}+\frac{bc}{a+c}\right)+\left(\frac{bc}{a+b}+\frac{ac}{a+b}\right)\right]\)
\(=\frac{1}{4}\left[\frac{a\left(b+c\right)}{b+c}+\frac{b\left(a+c\right)}{a+c}+\frac{c\left(a+b\right)}{a+b}\right]\)
\(=\frac{1}{4}\left(a+b+c\right)=\frac{1}{4}\cdot1=\frac{1}{4}\left(a+b+c=1\right)\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
PT
5
3 tháng 1 2018
(cách này ngắn hơn nè pham trung thanh) Vì a;b;c vai trò như nhau
Giả sử \(c\le a;b\Rightarrow P\le\frac{1}{4-c^2}+\frac{1}{4-c^2}+\frac{1}{4-c^2}=\frac{3}{4-c^2}\left(1\right)\)
Vì\(c\le a;b\Rightarrow c^4\le a^4;b^4\)
Mà \(a^4+b^4+c^4=3\)
\(\Rightarrow3\ge c^4+c^4+c^4=3c^4\)
\(\Rightarrow c^4\le1\Leftrightarrow c^2\le1\)
\(\Rightarrow4-c^2\ge3\Rightarrow\frac{3}{4-c^2}\le1\left(2\right)\)
từ (1) và (2) \(\Rightarrow P\le1\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1
VT
2 tháng 1 2018
Ta có 2A=\(\frac{2}{4-ab}+\frac{2}{4-bc}+\frac{2}{4-ca}=1+1+1-\frac{2-ab}{4-ab}-\frac{2-bc}{4-bc}-\frac{2-ca}{4-ca}\)
=3-(..)
Mà \(\frac{2-ab}{4-ab}=\frac{\left(2-ab\right)\left(2+ab\right)}{\left(2+ab\right)\left(4-ab\right)}=\frac{4-a^2b^2}{8+2ab-a^2b^2}\)
Mà \(3=a^4+b^4+c^4\ge a^4+b^4\ge2a^2b^2\Rightarrow a^2b^2\le\frac{a^4+b^4}{2}\)
Mà \(8+2ab-a^2b^2=9-\left(ab-1\right)^1\le9\)
=>\(\frac{2-ab}{4-ab}\ge\frac{4-\frac{a^4+b^4}{2}}{9}=\frac{4}{9}-\frac{a^4+b^4}{18}\)
tương tự thì ..., rồi cộng lại, ta có
\(\frac{2-ab}{4-ab}+\frac{2-bc}{4-bc}+\frac{2-ca}{4-ca}\ge\frac{4}{3}-\frac{a^4+b^4+c^4}{9}=\frac{4}{3}-\frac{1}{3}=1\)
=>\(2A\le3-1=2\Rightarrow A\le1\)
^_^
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
6 tháng 6 2020
\(P=\frac{1}{a+a+b+c}+\frac{1}{a+b+b+c}+\frac{1}{a+b+c+c}\)
\(P\le\frac{1}{16}\left(\frac{2}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(P\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\le\frac{1}{4}\sqrt{3\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)}=\frac{3}{4}\)
\(P_{max}=\frac{3}{4}\) khi \(a=b=c=1\)
7 tháng 4 2018
Lại có: \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{a^2+b^2}{ab}\ge2\)Tương tự \(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\ge2;\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\ge2\)
Ta có: \(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(=1+\frac{b}{a}+\frac{b}{a}+\frac{a}{b}+1+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+1\)
\(=3+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\right)\ge9\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
\(A=\frac{a-1}{a}+\frac{b-1}{b}+\frac{c-4}{c}=1-\frac{1}{a}+1-\frac{1}{b}+1-\frac{4}{c}\)
\(=3-\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{4}{c}\right)\le3-\frac{\left(1+1+2\right)^2}{a+b+c}=3-16=-13\)có GTNN là - 13
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{4};c=\frac{1}{2}\)
A=\frac{a-1}{a}+\frac{b-1}{b}+\frac{c-4}{c}=1-\frac{1}{a}+1-\frac{1}{b}+1-\frac{4}{c}A=aa−1+bb−1+cc−4=1−a1+1−b1+1−c4
=3-\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{4}{c}\right)\le3-\frac{\left(1+1+2\right)^2}{a+b+c}=3-16=-13=3−(a1+b1+c4)≤3−a+b+c(1+1+2)2=3−16=−13có GTNN là - 13
Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow a=b=\frac{1}{4};c=\frac{1}{2}⇔a=b=41;c=21