Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài gắt quá, em cày mãi không ra:( nào là phân tích vế phải,sos từm lưm... Cuối cùng chuyển vế cho gọn:v Nhưng mà em ko chắc :((
BĐT \(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\left(\frac{a^2}{b^2+c^2}-\frac{a}{b+c}\right)\ge0\)\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\frac{a^2b+a^2c-ab^2+ac^2}{\left(b^2+c^2\right)\left(b+c\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\frac{ab\left(a-b\right)-ac\left(c-a\right)}{\left(b^2+c^2\right)\left(b+c\right)}\ge0\)\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\left[\frac{ab\left(a-b\right)}{\left(b^2+c^2\right)\left(b+c\right)}-\frac{ab\left(a-b\right)}{\left(c^2+a^2\right)\left(c+a\right)}\right]\ge0\)
\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}ab\left(a-b\right)\left[\frac{\left(c^2+a^2\right)\left(c+a\right)-\left(b^2+c^2\right)\left(b+c\right)}{\left(b^2+c^2\right)\left(c^2+a^2\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\right]\ge0\)
\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}ab\left(a-b\right)\left[\frac{\left(a-b\right)\left(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca\right)}{\left(b^2+c^2\right)\left(c^2+a^2\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\right]\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca\right).\Sigma_{cyc}\frac{ab\left(a-b\right)^2}{\left(b^2+c^2\right)\left(c^2+a^2\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\ge0\) (đúng)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c
Bài 1: Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương:
\(VT\ge3\sqrt[3]{\frac{\left(b+c\right)\left(c+a\right)\left(a+b\right)}{abc}}\ge3\sqrt[3]{\frac{8abc}{abc}}=6\) (đpcm)
Giải phần dấu "=" ra ta được a = b =c
Bài 2: Đặt \(a+b=x;b+c=y;c+a=z\)
Suy ra \(a=\frac{x-y+z}{2};b=\frac{x+y-z}{2};c=\frac{y+z-x}{2}\)
Suy ra cần chứng minh \(\frac{x-y+z}{2y}+\frac{x+y-z}{2z}+\frac{y+z-x}{2x}\ge\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x+z}{2y}+\frac{x+y}{2z}+\frac{y+z}{2x}\ge3\)
\(\Leftrightarrow\frac{x+z}{y}+\frac{x+y}{z}+\frac{y+z}{x}\ge6\)
Bài toán đúng theo kết quả câu 1.
a)Bạn đặt A = a/ (1 + a^2). => A + a^2A = a => a^2A - a + A = 0. ta có delta = 1 - 4A^2 ( gọi ẩn số là a). => để pt có nghiệm <=> 1 - 4A^2 >= 0 => để phương trình có nghiệm => 1 - 4A^2 >= 0 => 1 >= 4A^2 => A =< 1/2. => max A = 1/2. bạn giải tương tự B = b/(1+b^2), C = c/(1 + c^2) rồi cộng vào nhau là ra ngay thôi. Đây là cách giải bằng delta.
b)bạn có (a^2 - b^2)/c = ((a+b)(a-b))/c >= (c + c)(a-b)/c = 2(a - b). Bạn có c =< b ( theo đề bài) = > c + b =< 2b => (c + b) =<2b => (c + b)/b <= 2 => (c + b)/a <= 2. từ đó ta có (c^2 - b^2)/a = (c -b )(c + b)/a >= 2(c - b).
chứng minh tương tự:(a + c)/b > 1 => (a^2 - c^2)/b >= a - c.( sr ngại gõ lắm) => cộng 3 vế ta được đpcm
Bài 1: \(a+\frac{1}{b\left(a-b\right)}=\left(a-b\right)+b+\frac{1}{b\left(a-b\right)}\)
Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương ta thu được đpcm (mình làm ở đâu đó rồi mà:)
Dấu "=" xảy ra khi a =2; b =1 (tự giải ra)
Bài 2: Thêm đk a,b,c >0.
Theo BĐT Cauchy \(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{c^2}}=\frac{2a}{c}\). Tương tự với hai cặp còn lại và cộng theo vế ròi 6chia cho 2 hai có đpcm.
Bài 3: Nó sao sao ấy ta?
Áp dụng Cô si cho 2 số không âm ta có:
\(\hept{\begin{cases}\frac{a}{b^2}+\frac{1}{a}\ge\frac{2}{b}\\\frac{b}{c^2}+\frac{1}{b}\ge\frac{2}{c}\\\frac{c}{a^2}+\frac{1}{c}\ge\frac{2}{a}\end{cases}}\)\(\Rightarrow\frac{a}{b^2}+\frac{b}{c^2}+\frac{c}{a^2}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b^2}+\frac{b}{c^2}+\frac{c}{a^2}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
dâu = xảy ra khi a=b=c
a/ BĐT sai, cho \(a=b=c=2\) là thấy
b/ \(VT=\frac{a^4}{a^2+2ab}+\frac{b^4}{b^2+2bc}+\frac{c^4}{c^2+2ac}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2}=\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)}{\left(a+b+c\right)^2}\)
\(VT\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a+b+c\right)^2}{3\left(a+b+c\right)^2}=\frac{1}{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
c/ Tiếp tục sai nữa, vế phải là \(\frac{3}{2}\) chứ ko phải \(2\), và hy vọng rằng a;b;c dương
\(VT=\frac{a^2}{abc.b+a}+\frac{b^2}{abc.c+b}+\frac{c^2}{abc.a+c}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{abc\left(a+b+c\right)+a+b+c}\)
\(VT\ge\frac{9}{3abc+3}\ge\frac{9}{\frac{3\left(a+b+c\right)^3}{27}+3}=\frac{9}{\frac{3.3^3}{27}+3}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Ta có:
\(a^3+b^3+b^3\ge3ab^2\) ; \(b^3+c^3+c^3\ge3bc^2\) ; \(c^3+a^3+a^3\ge3ca^2\)
Cộng vế với vế \(\Rightarrow a^3+b^3+c^3\ge ab^2+bc^2+ca^2\)
\(\frac{a^5}{b^2}+\frac{b^5}{c^2}+\frac{c^5}{a^2}=\frac{a^6}{ab^2}+\frac{b^6}{bc^2}+\frac{c^6}{ca^2}\ge\frac{\left(a^3+b^3+c^3\right)^2}{ab^2+bc^2+ca^2}\ge\frac{\left(a^3+b^3+c^3\right)^2}{a^3+b^3+c^3}=a^3+b^3+c^3\)
Giả sử b= min {a,b,c}
\(VT\ge\frac{a^3+b^3+c^3}{\frac{2\left(a+b+c\right)^3}{27}}+\frac{1}{2}\left(\Sigma\frac{\left(a+b\right)^2}{ab+c^2}+\Sigma\frac{\left(a-b\right)^2}{ab+c^2}\right)\)
\(\ge\left[\frac{27\left(a^3+b^3+c^3\right)}{2\left(a+b+c\right)^3}+\frac{2\left(a+b+c\right)^2}{\left(ab+bc+ca+a^2+b^2+c^2\right)}\right]\)
Sau khi quy đồng ta cần chứng minh biểu thức sau đây không âm:
Đó là điều hiển nhiên vì b = min {a,b,c}
áp dụng bất đẳng thức bu nhi a
ta có \(3\left(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\right)\ge\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)^2\)
lại có a/b+b/c+c/a \(\ge\)3 (bđt cauchy)
nhân từng vế ta có \(3\left(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\right)\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{a}{c}\right)\ge3\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)^2\)
suy ra đpcm