NA
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
K
1
LL
18 tháng 6 2015
Do a,b,c là độ dài cạnh tam giác nên:
a<b+c
b<c+a
c<a+b
ta co:
a^2b +b^2c+c^2a+ca^2+bc^2+ab^2
= a^2(b+c) + b^2(c+a) + c^2(a+b)
> a^2.a +b^2.b+c^2.c =a^3+b^3+c^3
<=> a^2b +b^2c+c^2a+ca^2+bc^2+ab^2 - a^3-b^3-c^3 > 0
T
0
TP
1
VT
1
VA
0
AT
1
26 tháng 7 2019
\(\frac{\left(2-c\right)\left(b-c\right)}{2a+bc}=\frac{\left(a+b\right)\left(b-c\right)}{a\left(a+b+c\right)+bc}=\frac{\left(a+b\right)\left(b-c\right)}{\left(a+b\right)\left(c+a\right)}=\frac{b-c}{c+a}=\frac{b}{c+a}-\frac{c}{c+a}\)
Tương tự, ta có: \(\frac{\left(2-a\right)\left(c-a\right)}{2b+ca}=\frac{c}{a+b}-\frac{a}{a+b};\frac{\left(2-b\right)\left(a-b\right)}{2c+ab}=\frac{a}{b+c}-\frac{b}{b+c}\)
\(\Rightarrow\)\(VT=\left(\frac{a}{b+c}-\frac{a}{a+b}\right)+\left(\frac{b}{c+a}-\frac{b}{b+c}\right)+\left(\frac{c}{a+b}-\frac{c}{c+a}\right)\)
\(=\frac{a\left(a-c\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}+\frac{b\left(b-a\right)}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}+\frac{c\left(c-b\right)}{\left(c+a\right)\left(a+b\right)}\)
\(=\frac{a\left(a-c\right)\left(c+a\right)+b\left(b-a\right)\left(a+b\right)+c\left(c-b\right)\left(b+c\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)
\(=\frac{\left(a^3+b^3+c^3\right)-\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\ge\frac{\left(a^3+b^3+c^3\right)-\left(a^3+b^3+c^3\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}=0\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c=\frac{2}{3}\)
cái bđt \(a^3+b^3+c^3\ge a^2b+b^2c+c^2a\) cô Chi có làm r ib mk gửi link
AH
Akai Haruma
Giáo viên
17 tháng 9 2017
Lời giải:
Xét
\((a+b+c)(a^2+b^2+c^2)=(a^3+b^3+c^3+ab^2+bc^2+ca^2)+a^2b+b^2c+c^2a\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\left\{\begin{matrix} a^3+ab^2\geq 2a^2b\\ b^3+bc^2\geq 2b^2c\\ c^3+ca^2\geq 2c^2a\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow (a+b+c)(a^2+b^2+c^2)\geq 3(a^2b+b^2c+c^2a)\)
\(\Leftrightarrow a^2b+b^2c+c^2a\leq \frac{a^2+b^2+c^2}{3}\) (do \(a+b+c=1\))
Do đó, \(A\geq 14(a^2+b^2+c^2)+\frac{3(ab+bc+ac)}{a^2+b^2+c^2}\)
\(\Leftrightarrow A\geq 14[(a+b+c)^2-2(ab+bc+ac)]+\frac{3(ab+bc+ac)}{(a+b+c)^2-2(ab+bc+ac)}\)
\(\Leftrightarrow A\geq 14-28(ab+bc+ac)+\frac{3(ab+bc+ac)}{1-2(ab+bc+ac)}\)
Đặt \(ab+bc+ac=t\)
Theo AM-GM thì \(ab+bc+ac\leq\frac{(a+b+c)^2}{3}\Leftrightarrow t\leq \frac{1}{3}\Rightarrow t\in (0,\frac{1}{3}]\)
Ta có: \(A\geq 14-28t+\frac{3t}{1-2t}\)
Ta sẽ cm rằng \(14-28t+\frac{3t}{1-2t}\geq \frac{23}{3}\Leftrightarrow \frac{14(1-2t)^2+3t}{1-2t}\geq \frac{23}{3}\)
\(\Leftrightarrow 168t^2-159t+42\geq 23-46t\)
\(\Leftrightarrow (3t-1)(56t-19)\geq 0\) \((\star)\)
Vì \(t\leq \frac{1}{3}\Rightarrow 3t-1,56t-19\leq 0\Rightarrow (3t-1)(56t-19)\geq 0\)
Do đó \((\star)\) đúng kéo theo \(14-28t+\frac{3t}{1-2t}\geq \frac{23}{3}\Rightarrow A\geq \frac{23}{3}\)
Vậy \(A_{\min}=\frac{23}{3}\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)
MT
0
k nha new dung