NN
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
13 tháng 5 2020
\(\sqrt{a+bc}=\sqrt{a\left(a+b+c\right)+bc}=\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\ge\sqrt{\left(a+\sqrt{bc}\right)^2}=a+\sqrt{bc}\)
Tương tự: \(\sqrt{b+ac}\ge b+\sqrt{ac}\) ; \(\sqrt{c+ab}\ge c+\sqrt{ab}\)
\(\Rightarrow VT\ge a+b+c+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}-\sqrt{ab}-\sqrt{bc}-\sqrt{ca}\)
\(\Rightarrow VT\ge a+b+c=1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
ND
3 tháng 5 2018
e)
\(\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}\ge\left(\dfrac{a+b+c}{3}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ac\right)\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(a^2-2ac+c^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(a-c\right)^2+\left(b-c\right)^2\ge0\) ( luôn đúng)
=> ĐPCM
2 tháng 5 2020
\(\frac{\sqrt{b^2+2a^2}}{ab}+\frac{\sqrt{c^2+2b^2}}{bc}+\frac{\sqrt{a^2+2c^2}}{ca}\ge\sqrt{3}\left(1\right)\)
Ta có ab+bc+ca=abc nên \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{2}{b^2}}+\sqrt{\frac{1}{b^2}+\frac{2}{c^2}}+\sqrt{\frac{1}{c^2}+\frac{2}{a^2}}\ge\sqrt{3}\)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, với các Vecto
\(\overrightarrow{u}=\left(\frac{1}{a};\frac{\sqrt{2}}{b}\right);\left|\overrightarrow{u}\right|=\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{2}{b^2}}\)
\(\overrightarrow{v}=\left(\frac{1}{b};\frac{\sqrt{2}}{c}\right)\Rightarrow\left|\overrightarrow{v}\right|=\sqrt{\frac{1}{b^2}+\frac{2}{c^2}}\)
\(\overrightarrow{w}=\left(\frac{1}{c};\frac{\sqrt{2}}{a}\right)\Rightarrow\left|\overrightarrow{w}\right|=\sqrt{\frac{1}{c^2}+\frac{2}{a^2}}\)
Ta có \(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}=\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c};2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\right)=\left(1;\sqrt{2}\right)\)
=> \(\left|\overrightarrow{u}\right|+\left|\overrightarrow{v}\right|+\left|\overrightarrow{w}\right|=\sqrt{1+2}=\sqrt{3}\)
Mặt khác \(\left|\overrightarrow{u}\right|+\left|\overrightarrow{v}\right|+\left|\overrightarrow{w}\right|\ge\left|\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}\right|\)
\(\Rightarrow\frac{\sqrt{b^2+2a^2}}{ab}+\frac{\sqrt{c^2+2b^2}}{bc}+\frac{\sqrt{a^2+2c^2}}{ac}\ge\sqrt{3}\)
Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c
VT
21 tháng 10 2019
1) Áp dụng bunhiacopxki ta được \(\sqrt{\left(2a^2+b^2\right)\left(2a^2+c^2\right)}\ge\sqrt{\left(2a^2+bc\right)^2}=2a^2+bc\), tương tự với các mẫu ta được vế trái \(\le\frac{a^2}{2a^2+bc}+\frac{b^2}{2b^2+ac}+\frac{c^2}{2c^2+ab}\le1< =>\)\(1-\frac{bc}{2a^2+bc}+1-\frac{ac}{2b^2+ac}+1-\frac{ab}{2c^2+ab}\le2< =>\)
\(\frac{bc}{2a^2+bc}+\frac{ac}{2b^2+ac}+\frac{ab}{2c^2+ab}\ge1\)<=> \(\frac{b^2c^2}{2a^2bc+b^2c^2}+\frac{a^2c^2}{2b^2ac+a^2c^2}+\frac{a^2b^2}{2c^2ab+a^2b^2}\ge1\) (1)
áp dụng (x2 +y2 +z2)(m2+n2+p2) \(\ge\left(xm+yn+zp\right)^2\)
(2a2bc +b2c2 + 2b2ac+a2c2 + 2c2ab+a2b2). VT\(\ge\left(bc+ca+ab\right)^2\) <=> (ab+bc+ca)2. VT \(\ge\left(ab+bc+ca\right)^2< =>VT\ge1\) ( vậy (1) đúng)
dấu '=' khi a=b=c