Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có a < b + c; b < c + a; c < a + b nên từ a + b + c = 2 suy ra a, b, c < 1.
BĐT cần cm tương đương:
\(\left(a+b+c\right)^2+2abc< 2\left(ab+bc+ca\right)+2\)
\(\Leftrightarrow abc-\left(ab+bc+ca\right)+1< 0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)< 0\).
Bất đẳng thức trên luôn đúng do a, b, c < 1.
Vậy ta có đpcm.
Kẻ đường cao BD ứng với AC. Do góc A tù \(\Rightarrow\) D nằm ngoài đoạn thẳng AC hay \(CD=AD+AC\) và \(\widehat{DAB}=180^0-120^0=60^0\)
Áp dụng định lý Pitago:
\(AB^2=BD^2+AD^2\) \(\Rightarrow BD^2=AB^2-AD^2\)
Trong tam giác vuông ABD:
\(cos\widehat{BAD}=\dfrac{AD}{AB}\Rightarrow\dfrac{AD}{AB}=cos60^0=\dfrac{1}{2}\Rightarrow AD=\dfrac{1}{2}AB\)
\(\Rightarrow BD^2=AB^2-\left(\dfrac{1}{2}AB^2\right)=\dfrac{3}{4}AB^2\)
Pitago tam giác BCD:
\(BC^2=BD^2+CD^2=\dfrac{3}{4}AB^2+\left(AD+AC\right)^2\)
\(=\dfrac{3}{4}AB^2+\left(\dfrac{1}{2}AB+AC\right)^2\)
\(=\dfrac{3}{4}AB^2+\dfrac{1}{4}AB^2+AB.AC+AC^2\)
\(=AB^2+AB.AC+AC^2\)
Hay \(a^2=b^2+c^2+bc\)
Ta có :\(\left(a-b\right)^2\ge0\forall a,b\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
Mà \(a^2+b^2=c^2\left(Py-ta-go\right)\)
\(\Rightarrow c^2-2ab\ge0\)
\(\Leftrightarrow c^2\ge2ab\)
\(\Leftrightarrow2c^2\ge a^2+b^2+2ab\)( Do c2=a2+b2)
\(\Leftrightarrow2c^2\ge\left(a+b\right)^2\)
\(\Leftrightarrow c\sqrt{2}\ge a+b\)( ĐPCM )
Ta có a+b \(\le\)c√2
<=> (a+b) 2\(\le\)(c√2)2
<=> a2+2ab+b2\(\le\)2c2
<=> a2+2ab+b2 \(\le\)2(a2+b2) = 2a2+2b2
<=> 0 \(\le\)a2-2ab+b2 = (a-b)2 ( luôn đúng)
=> a+b \(\le\)c√2
Cauchy ở mẫu \(a^2+bc\ge2a\sqrt{bc}\)
Vậy vế trái \(\le\frac{1}{2a\sqrt{bc}}+\frac{1}{2b\sqrt{ca}}+\frac{1}{2c\sqrt{ab}}=\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{2abc}\)
Và lượng trên tử bé hơn bằng \(ab+bc+ca\)
Ta có:
\(a< b+c\)
\(\Leftrightarrow2a< a+b+c=2\)
\(\Leftrightarrow a< 1\)
Tương tự ta cũng có:
\(\hept{\begin{cases}b< 1\\c< 1\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)>0\)
\(\Leftrightarrow-abc+ab+bc+ca-a-b-c+1>0\)
\(\Leftrightarrow abc< \left(ab+bc+ca\right)-1\)
\(\Leftrightarrow2abc< 2\left(ab+bc+ca\right)-2\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2abc< a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)-2\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2abc< \left(a+b+c\right)^2+2=4-2=2\)
với x, y, z > 0.
Mn giúp em với ;-;
Nguyet9ak47 mk ko bt có đúng ko nhưng bn tham khảo nhé:
ta co a+b>c suy ra 2c<a+b+c=2 =>c<1,a<1,b<1
(1-a)(1-b)(1-c)>0
=>ab+bc+ac>1+abc
lai co
4=2(ab+bc+ac)+a2+b2+c2
tu do suy ra
4>a2+b2+c2+2(1+abc)=>a2+b2+c2+2abc<2=>... a,b,c>0)
P/s: Nguyet9ak47, Chứng minh rằng sao bn ko viết là CMR
Câu trả lời hay nhất: Tam giác ABC có độ dài 3 cạnh là a,b,c và có chu vi là 2
--> a + b + c = 2
Trong 1 tam giác thì ta có:
a < b + c
--> a + a < a + b + c
--> 2a < 2
--> a < 1
Tương tự ta có : b < 1, c < 1
Suy ra: (1 - a)(1 - b)(1 - c) > 0
⇔ (1 – b – a + ab)(1 – c) > 0
⇔ 1 – c – b + bc – a + ac + ab – abc > 0
⇔ 1 – (a + b + c) + ab + bc + ca > abc
Nên abc < -1 + ab + bc + ca
⇔ 2abc < -2 + 2ab + 2bc + 2ca
⇔ a² + b² + c² + 2abc < a² + b² + c² – 2 + 2ab + 2bc + 2ca
⇔ a² + b² + c² + 2abc < (a + b + c)² - 2
⇔ a² + b² + c² + 2abc < 2² - 2 , do a + b = c = 2
⇔ a² + b² + c² + 2abc < 2
--> đpcm
p/s: kham khảo