Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có : \(9=a^2+a^2+b^2+a^2+b^2+bc+bc+c^2+c^2\ge9\sqrt[9]{a^6\cdot b^6\cdot c^6}=9\sqrt[3]{a^2\cdot b^2\cdot c^2}\Rightarrow abc\le1\) Áp dụng bđt Cô-si vào các số dương : \(a^2+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{b^2}\ge4\sqrt[4]{\dfrac{a^2}{b^6}}=4\sqrt{\dfrac{a}{b^3}}\Rightarrow\sqrt{a^2+\dfrac{3}{b^2}}\ge2\cdot\sqrt[4]{\dfrac{a}{b^3}}\)
CM tương tự ta được: \(\sqrt{b^2+\dfrac{3}{c^2}}\ge2\sqrt[4]{\dfrac{b}{c^3}};\sqrt{c^2+\dfrac{3}{a^2}}\ge2\sqrt[4]{\dfrac{c}{a^3}}\Rightarrow P\ge2\cdot\left(\sqrt[4]{\dfrac{a}{b^3}}+\sqrt[4]{\dfrac{b}{c^3}}+\sqrt[4]{\dfrac{c}{a^3}}\right)\ge2\cdot3\cdot\sqrt[12]{\dfrac{a}{b^3}\cdot\dfrac{b}{c^3}\cdot\dfrac{c}{a^3}}=6\sqrt[12]{\dfrac{1}{\left(abc\right)^2}}=6\) Dấu = xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\((a^2+\frac{1}{b^2})(1+4^2)\geq (a+\frac{4}{b})^2\Rightarrow \sqrt{a^2+\frac{1}{b^2}}\geq \frac{1}{\sqrt{17}}(a+\frac{4}{b})\)
Hoàn toàn tương tự với những cái còn lại và cộng theo vế suy ra:
$S\geq \frac{1}{\sqrt{17}}(a+b+c+\frac{4}{a}+\frac{4}{b}+\frac{4}{c})$
$\geq \frac{1}{\sqrt{17}}(a+b+c+\frac{36}{a+b+c})$ theo BĐT Cauchy-Schwarz.
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(a+b+c+\frac{9}{4(a+b+c)}\geq 3\)
\(\frac{135}{4(a+b+c)}\geq \frac{135}{4.\frac{3}{2}}=\frac{45}{2}\)
\(\Rightarrow a+b+c+\frac{36}{a+b+c}\geq \frac{51}{2}\)
\(\Rightarrow S\geq \frac{3\sqrt{17}}{2}\)
Vậy $S_{\min}=\frac{3\sqrt{17}}{2}$
Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\((a^2+\frac{1}{b^2})(1+4^2)\geq (a+\frac{4}{b})^2\Rightarrow \sqrt{a^2+\frac{1}{b^2}}\geq \frac{1}{\sqrt{17}}(a+\frac{4}{b})\)
Hoàn toàn tương tự với những cái còn lại và cộng theo vế suy ra:
$S\geq \frac{1}{\sqrt{17}}(a+b+c+\frac{4}{a}+\frac{4}{b}+\frac{4}{c})$
$\geq \frac{1}{\sqrt{17}}(a+b+c+\frac{36}{a+b+c})$ theo BĐT Cauchy-Schwarz.
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(a+b+c+\frac{9}{4(a+b+c)}\geq 3\)
\(\frac{135}{4(a+b+c)}\geq \frac{135}{4.\frac{3}{2}}=\frac{45}{2}\)
\(\Rightarrow a+b+c+\frac{36}{a+b+c}\geq \frac{51}{2}\)
\(\Rightarrow S\geq \frac{3\sqrt{17}}{2}\)
Vậy $S_{\min}=\frac{3\sqrt{17}}{2}$
Đề bài hình như bị sai em, thay điểm rơi ko thỏa mãn
Biểu thức là \(a+b+\sqrt{2\left(a+c\right)}\) mới đúng
Hướng dẫn.
Bạn chứng minh bất đẳng thức $\dfrac{1}{\sqrt{1+8a^3}} \geqslant \dfrac{5}{9}-\dfrac{2}{9}a^2$ rồi cộng lại là xong.
Bài 1:
Ta có:
\(\text{VT}=\frac{a^2}{a+2b^2}+\frac{b^2}{b+2c^2}+\frac{c^2}{c+2a^2}\)
\(=a-\frac{2ab^2}{a+2b^2}+b-\frac{2bc^2}{b+2c^2}+c-\frac{2ca^2}{c+2a^2}=(a+b+c)-2\left(\frac{ab^2}{a+2b^2}+\frac{bc^2}{b+2c^2}+\frac{ca^2}{c+2a^2}\right)\)
\(=3-2M(*)\)
Áp dụng BĐT Cauchy ta có:
\(M=\frac{ab^2}{a+b^2+b^2}+\frac{bc^2}{b+c^2+c^2}+\frac{ca^2}{c+a^2+a^2}\leq \frac{ab^2}{3\sqrt[3]{ab^4}}+\frac{bc^2}{3\sqrt[3]{bc^4}}+\frac{ca^2}{3\sqrt[3]{ca^4}}\)
\(\Leftrightarrow M\leq \frac{1}{3}(\sqrt[3]{a^2b^2}+\sqrt[3]{b^2c^2}+\sqrt[3]{c^2a^2})\)
Tiếp tục áp dụng BĐT Cauchy:
\(\sqrt[3]{a^2b^2}+\sqrt[3]{b^2c^2}+\sqrt[3]{c^2a^2}\leq \frac{ab+ab+1}{3}+\frac{bc+bc+1}{3}+\frac{ca+ca+1}{3}=\frac{2(ab+bc+ac)+3}{3}\)
Mà \(ab+bc+ac\leq \frac{(a+b+c)^2}{3}=3\) (quen thuộc)
\(\Rightarrow M\leq \frac{1}{3}.\frac{2.3+3}{3}=1(**)\)
Từ \((*);(**)\Rightarrow \text{VT}\geq 3-2.1=1\)
(đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$
Bài 2:
Áp dụng BĐT Cauchy -Schwarz:
\(\text{VT}=\frac{a^3}{a^2+a^2b^2}+\frac{b^3}{b^2+b^2c^2}+\frac{c^3}{c^2+a^2c^2}\geq \frac{(a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+c\sqrt{c})^2}{a^2+a^2b^2+b^2+b^2c^2+c^2+c^2a^2}\)
hay:
\(\text{VT}\geq \frac{(a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+c\sqrt{c})^2}{1+a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}(*)\)
Mặt khác, theo BĐT Cauchy ta dễ thấy:
\(a^4+b^4+c^4\geq a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\)
\(\Rightarrow (a^2+b^2+c^2)^2\geq 3(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)\)
\(\Leftrightarrow 1\geq 3(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)\Rightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\leq \frac{1}{3}(**)\)
Từ \((*);(**)\Rightarrow \text{VT}\geq \frac{(a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+c\sqrt{c})^2}{1+\frac{1}{3}}=\frac{3}{4}(a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+c\sqrt{c})^2\)
Ta có đpcm
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
\(\left(a^3+b^2+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+1+c\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)
\(\Rightarrow\dfrac{a^3+b^2+c}{a}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{1+a+ac}=\dfrac{9}{1+a+ac}\)
\(\Rightarrow\dfrac{a}{a^3+b^2+c}\le\dfrac{1+a+ac}{9}\)
Tương tự: \(\dfrac{b}{b^3+c^2+a}\le\dfrac{1+b+ab}{9}\); \(\dfrac{c}{c^3+a^2+b}\le\dfrac{1+c+bc}{9}\)
Cộng vế:
\(P\le\dfrac{3+a+b+c+ab+bc+ca}{9}\le\dfrac{6+\dfrac{1}{3}\left(a+b+c\right)^3}{9}=1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
bạn đã trúng tà thuật đạo từ con mắt này .Nói cách khác bạn đã trúng ảo thuật ,chỉ có mình và itachi mới giải thuật được cho bạn nha!!
ê bn có bthường k zậy