K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

4 tháng 12 2018

\(\dfrac{1+a+b}{2}\ge\dfrac{1+a+b+ab}{2+a+b}\)

\(\Leftrightarrow\left(1+a+b\right)\left(2+a+b\right)\ge2\left(1+a+b+ab\right)\)

\(\Leftrightarrow2+a+b+2a+a^2+ab+2b+ab+b^2\ge2+2a+2b+2ab\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+2ab+3a+3b+2\ge2ab+2a+2b+2\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+a+b\ge0\)

9 tháng 9 2018

Với a, b, c là các số nguyên dương

=> a + b > 0 ; b + c > 0 ; c + a > 0

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số a + b và c không âm, ta có:

\(\left(a+b\right)+c\ge2\sqrt[]{\left(a+b\right)c}\)

\(\Rightarrow1\ge\dfrac{2\sqrt[]{\left(a+b\right)c}}{a+b+c}\)

\(\Rightarrow1\ge\dfrac{2\sqrt{c}\sqrt[]{\left(a+b\right)c}}{\sqrt[]{c}\left(a+b+c\right)}\)

\(\Rightarrow1\ge\dfrac{2c\sqrt[]{a+b}}{\sqrt[]{c}\left(a+b+c\right)}\)

\(\Rightarrow\sqrt[]{c}\left(a+b+c\right)\ge2c\sqrt[]{a+b}\)

\(\Rightarrow\sqrt[]{\dfrac{c}{a+b}}\ge\dfrac{2c}{a+b+c}\) (1)

Chứng minh tương tự \(\Rightarrow\sqrt[]{\dfrac{a}{b+c}}\ge\dfrac{2a}{a+b+c}\) (2) ;\(\sqrt[]{\dfrac{b}{a+c}}\ge\dfrac{2b}{a+b+c}\) (3)

Cộng hai vế của (1), (2), (3), ta được:

\(\sqrt[]{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt[]{\dfrac{b}{a+c}}+\sqrt[]{\dfrac{c}{a+b}}\ge\dfrac{2a}{a+b+c}+\dfrac{2b}{a+b+c}+\dfrac{2c}{a+b+c}=2\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=c\\a+c=b\\b+c=a\end{matrix}\right.\)

Kết hợp với điều kiện a, b, c là các số nguyên dương => Không thể xảy ra dấu " = "

=> ĐPCM

9 tháng 9 2018

a,b,c >0 nua nhe

15 tháng 11 2016

Moi hoc lop 6 a!

Nen chang tra loi dc dau!

NV
13 tháng 7 2020

\(a+b+c=abc\Leftrightarrow\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=1\)

Đặt \(\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)=\left(x;y;z\right)\Rightarrow xy+yz+zx=1\)

\(VT=\frac{x^2yz}{1+yz}+\frac{xy^2z}{1+zx}+\frac{xyz^2}{1+xy}=\frac{x^2yz}{xy+yz+yz+zx}+\frac{xy^2z}{xy+zx+yz+zx}+\frac{xyz^2}{xy+yz+xy+zx}\)

\(VT\le\frac{1}{4}\left(\frac{x^2yz}{xy+yz}+\frac{x^2yz}{yz+zx}+\frac{xy^2z}{xy+zx}+\frac{xy^2z}{yz+zx}+\frac{xyz^2}{xy+yz}+\frac{xyz^2}{xy+zx}\right)\)

\(VT\le\frac{1}{4}\left(\frac{x^2y}{x+y}+\frac{xy^2}{x+y}+\frac{y^2z}{y+z}+\frac{yz^2}{y+z}+\frac{x^2z}{x+z}+\frac{xz^2}{x+z}\right)\)

\(VT\le\frac{1}{4}\left(xy+yz+zx\right)=\frac{1}{4}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\sqrt{3}\)

AH
Akai Haruma
Giáo viên
13 tháng 3 2022

Lời giải:
BĐT \(\Leftrightarrow \frac{a^2+b^2+2}{(a^2+1)(b^2+1)}\geq \frac{2}{ab+1}\)

$\Leftrightarrow (a^2+b^2+2)(ab+1)\geq 2(a^2b^2+a^2+b^2+1)$

$\Leftrightarrow a^3b+a^2+ab^3+b^2+2ab+2\geq 2a^2b^2+2a^2+2b^2+2$

$\Leftrightarrow a^3b+ab^3+2ab\geq 2a^2b^2+a^2+b^2$

$\Leftrightarrow ab(a^2+b^2-2ab)-(a^2+b^2-2ab)\geq 0$

$\Leftrightarrow ab(a-b)^2-(a-b)^2\geq 0$

$\Leftrightarrow (a-b)^2(ab-1)\geq 0$

Điều này luôn đúng với mọi $ab\geq 1$ 

Do đó ta có đpcm 

Dấu "=" xảy ra khi $a=b$ hoặc $ab=1$