Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Sang học 24 tìm ai tên Perfect Blue nhé t làm bên đó rồi đưa link thì lỗi ==" , tìm tên đăng nhập springtime ấy
Áp dụng bđt AM-GM :
\(\frac{1}{a^2+1}+\frac{a^2+1}{4}\ge2\sqrt{\frac{a^2+1}{\left(a^2+1\right)\cdot4}}=1\)
Tương tự ta có :
\(\frac{1}{b^2+1}+\frac{b^2+1}{4}\ge1\)
\(\frac{1}{c^2+1}+\frac{c^2+1}{4}\ge1\)
Cộng từng vế ta có :
\(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+\frac{1}{c^2+1}+\frac{a^2+b^2+c^2+3}{4}\ge3\)
Áp dụng bđt quen thuộc : \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac=3\)
Khi đó : \(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+\frac{1}{c^2+1}\ge3-\frac{3+3}{4}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
bạn làm sai rồi . Khi \(a^2+b^2+c^2\ge3\) bạn chuyển vế thì nó không cùng dấu với bất đẳng thức
a)Áp dụng Bđt cô si, ta có:
\(\frac{a}{1+b^2}=a-\frac{ab^2}{1+b^2}\ge a-\frac{ab^2}{2b}=a-\frac{ab}{2}\)
Tương tự ta có:
\(\frac{b}{1+c^2}\ge b-\frac{bc}{2};\frac{c}{1+a^2}\ge c-\frac{ca}{2}\)
Cộng 3 vế của bđt lại ta có:
\(\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}=a+b+c-\frac{ab+bc+ac}{2}\ge\frac{3}{2}\)
dấu = khi a=b=c=1
\(\frac{a}{1+b^2}=a-\frac{ab^2}{1+b^2}\ge a-\frac{ab^2}{2b}=a-\frac{ab}{2}\)
Tương tự : \(\frac{b}{1+c^2}\ge b-\frac{bc}{2}\) ; \(\frac{c}{1+a^2}\ge c-\frac{ac}{2}\)
Cộng theo vế : \(\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\ge3-\frac{1}{2}\left(ab+bc+ac\right)\ge3-\frac{1}{2}.\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\ge\frac{3}{2}\)
Ap dung BDT Cosi nguoc dau:
VT <=> \(∑ a-{ab^2\over 1+b^2} ≥ ∑ a-{ab^2\over 2b}=∑ a-{ab\over 2} \)
\(= a+b+c-{ab+ac+bc\over 2} \)
\(≥ 3- {(a+b+c)^2\over 6}=3-{9\over 6}={3\over 2} \) \( BDT {(a+b+c)^2\over 3} ≥ ab+ac+bc \)
=> DPCM
Ta co:
\(\sqrt{2\left(b+1\right)}\le\frac{b+3}{2}\Rightarrow\frac{a}{\sqrt{2\left(b+1\right)}}\ge\frac{2a}{b+3}\)
Tuong tu:\(\frac{b}{\sqrt{2\left(c+1\right)}}\ge\frac{2b}{c+3};\frac{c}{\sqrt{2\left(a+1\right)}}\ge\frac{2c}{a+3}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{a}{\sqrt{b+1}}+\frac{b}{\sqrt{c+1}}+\frac{c}{\sqrt{a+1}}\right)\ge2\left(\frac{a}{b+3}+\frac{b}{c+3}+\frac{c}{a+3}\right)\)
\(\frac{a}{b+3}+\frac{b}{c+3}+\frac{c}{a+3}\)
\(=\frac{a^2}{ab+3a}+\frac{b^2}{bc+3b}+\frac{c^2}{ca+3c}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ab+bc+ca+9}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}+9}=\frac{9}{\frac{9}{3}+9}=\frac{3}{4}\)
\(\Rightarrow2\left(\frac{a}{b+3}+\frac{b}{c+3}+\frac{c}{a+3}\right)\ge\frac{3}{2}\)
Hay \(\frac{a}{\sqrt{b+1}}+\frac{b}{\sqrt{c+1}}+\frac{c}{\sqrt{a+1}}\ge\frac{3\sqrt{2}}{2}\)
Dau '=' xay ra khi \(a=b=c=3\)
Sửa đề: CMR \(\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\geq \frac{3}{2}\)
Đặt biểu thức đã cho là $P$
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(P=a-\frac{ab^2}{1+b^2}+b-\frac{bc^2}{1+c^2}+c-\frac{ca^2}{1+a^2}=(a+b+c)-\left(\frac{ab^2}{1+b^2}+\frac{bc^2}{1+c^2}+\frac{ca^2}{1+a^2}\right)\)
\(\geq (a+b+c)-\left(\frac{ab^2}{2b}+\frac{bc^2}{2c}+\frac{ca^2}{2a}\right)=a+b+c-\frac{ab+bc+ac}{2}\)
Mà cũng theo BĐT AM-GM
\(3(a+b+c)=(a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ac)\)
\(\Rightarrow a+b+c\geq ab+bc+ac\)
Do đó: \(P\geq a+b+c-\frac{ab+bc+ac}{2}\geq a+b+c-\frac{a+b+c}{2}=\frac{a+b+c}{2}=\frac{3}{2}\)
Ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$