K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

9 tháng 2 2020

\(P=\Sigma_{cyc}\sqrt{\frac{a}{a+1}}=\Sigma_{cyc}2\sqrt{\frac{1}{4}\left(1-\frac{1}{a+1}\right)}\)

\(\le\Sigma_{cyc}\left[\frac{1}{4}+\left(1-\frac{1}{a+1}\right)\right]=\frac{15}{4}-\left(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\right)\)

\(\le\frac{15}{4}-\frac{9}{a+b+c+3}=\frac{3}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

9 tháng 2 2020

Cách khác:

\(P=\Sigma_{cyc}\sqrt{\frac{a}{a+1}}=\Sigma_{cyc}\sqrt{a.\frac{1}{\left(a+b\right)+\left(a+c\right)}}\)

\(\le\Sigma_{cyc}\sqrt{\frac{1}{4}a\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\right)}=\frac{1}{2}\Sigma_{cyc}\sqrt{1\left(\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c}\right)}\)

\(\le\frac{1}{4}.\Sigma_{cyc}\left(1+\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c}\right)=\frac{3}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c

7 tháng 10 2017

ta có:

\(A^2=\left(\frac{a}{\sqrt{a^2+1}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+1}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+1}}\right)^2\le\left(a+b+c\right)\left(\frac{a}{a^2+1}+\frac{b}{b^2+1}+\frac{c}{c^2+1}\right)\) (BĐT Bu-nhi-a)

=>\(A^2\le\sqrt{3}\left(\frac{a}{a^2+1}+\frac{b}{b^2+1}+\frac{c}{c^2+1}\right)\)      (*)

mặt khác ta có: \(a^2+1\ge2a\) (BĐT cauchy ) =>\(\frac{a}{a^2+1}\le\frac{1}{2}\)

tương tự ta có: \(\frac{b}{b^2+1}\le\frac{1}{2}\)    ;    \(\frac{c}{c^2+1}\le\frac{1}{2}\)

=> \(\frac{a}{a^2+1}+\frac{b}{b^2+1}+\frac{c}{c^2+1}\le\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\)     (**)  

từ (*),(**) => \(A^2\le\sqrt{3}.\frac{3}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\)

=>\(A\le\sqrt{\frac{3\sqrt{3}}{2}}\)

=> GTLN của A là \(\sqrt{\frac{3\sqrt{3}}{2}}\)   <=> a=b=c<\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)

8 tháng 10 2017

Ta có:

\(\frac{a}{\sqrt{a^2+1}}=\frac{a}{\sqrt{a^2+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}}}\)

\(\le\frac{\sqrt[8]{27}a}{\sqrt{4\sqrt[4]{a^2}}}=\frac{\sqrt[8]{27a^6}}{2}\)

\(=\frac{\sqrt{3}}{2}.\sqrt[8]{a^6.\frac{1}{3}}\)

\(\le\frac{\sqrt{3}}{2}.\frac{6a+\frac{2}{\sqrt{3}}}{8}\left(1\right)\)

Tương tự ta cũng có:

\(\hept{\begin{cases}\frac{b}{\sqrt{b^2+1}}\le\frac{\sqrt{3}}{2}.\frac{6b+\frac{2}{\sqrt{3}}}{8}\left(2\right)\\\frac{c}{\sqrt{c^2+1}}\le\frac{\sqrt{3}}{2}.\frac{6c+\frac{2}{\sqrt{3}}}{8}\left(3\right)\end{cases}}\)

Từ (1), (2), (3) 

\(\Rightarrow A\le\frac{\sqrt{3}}{2}.\left(\frac{6}{8\sqrt{3}}+\frac{6}{8}\left(a+b+c\right)\right)\)

\(\le\frac{\sqrt{3}}{2}.\left(\frac{3}{4\sqrt{3}}+\frac{3\sqrt{3}}{4}\right)=\frac{3}{2}\)

Dấu = xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)        

12 tháng 7 2018

Ta có \(\sqrt{a^2-ab+b^2}=\sqrt{\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2+\frac{3}{4}\left(a-b\right)^2}\ge\sqrt{\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2}=\frac{1}{2}\left(a+b\right)\)

=> \(\frac{1}{\sqrt{a^2-ab+b^2}}\le\frac{1}{\frac{1}{2}\left(a+b\right)}=\frac{2}{a+b}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)

Chứng minh tương tự, rồi cộng lại, ta có 

A\(\le\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3\)

dấu = xảy ra <=> a=b=c=1

^_^

11 tháng 6 2017

Xem lại lời giải đi @Thắng Nguyễn lưu ý ab không phải a^2b^2 :v

10 tháng 6 2017

\(\sqrt{\frac{ab}{c+ab}}=\sqrt{\frac{ab}{c\left(a+b+c\right)+ab}}=\sqrt{\frac{ab}{c^2+ab+bc+ca}}\)

\(=\sqrt{\frac{ab}{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}\right)\)

Tương tự cho 2 BĐT còn lại r` cộng vào nhé

31 tháng 1 2019

Ta có : \(\frac{a}{\sqrt{bc\left(1+a^2\right)}}=\frac{a}{\sqrt{bc+a.abc}}=\frac{a}{\sqrt{bc+a\left(a+b+c\right)}}\)

                                                                               \(=\frac{a}{\sqrt{bc+a^2+ab+ac}}\)

                                                                                \(=\frac{a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\)

Áp dụng bđt Cô-si ngược ta có
\(\frac{a}{\sqrt{bc\left(1+a^2\right)}}=\frac{a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c}\right)\)

C/m tương tự được \(\frac{b}{\sqrt{ca\left(1+b^2\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{b}{a+b}+\frac{b}{b+c}\right)\)

                                 \(\frac{c}{\sqrt{ab\left(1+c^2\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{c}{a+c}+\frac{c}{b+c}\right)\)

Cộng 3 vế của các bđt trên lại ta được

\(A\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{a+b}+\frac{a}{a+c}+\frac{c}{a+c}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{b+c}\right)\)

         \(=\frac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a+b+c=abc\\a=b=c\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}3a=a^3\\a=b=c\end{cases}}\)

                                                                          \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a^3-3a=0\\a=b=c\end{cases}}\)

                                                                       \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a\left(a^2-3\right)=0\\a=b=c\end{cases}}\) 

                                                                         \(\Leftrightarrow a=b=c=\sqrt{3}\left(a,b,c>0\right)\)

Vậy \(A_{max}=\frac{3}{2}\Leftrightarrow x=y=z=\sqrt{3}\)