K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

AH
Akai Haruma
Giáo viên
9 tháng 9 2018

Lời giải:

Áp dụng BĐT Schur bậc 3:

\(abc\geq (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\)

\(\Leftrightarrow abc\geq (1-2c)(1-2a)(1-2b)\)

\(\Leftrightarrow 9abc\geq 4(ab+bc+ac)-1\) (thay \(a+b+c=1\) )

\(\Rightarrow abc\geq \frac{4}{9}(ab+bc+ac)-\frac{1}{9}\)

\(\Rightarrow ab+bc+ac-abc\leq \frac{5}{9}(ab+bc+ac)+\frac{1}{9}\)

Theo hệ quả quen thuộc của BĐT AM-GM

\(ab+bc+ac\leq \frac{(a+b+c)^2}{3}=\frac{1}{3}\Rightarrow \frac{5}{9}(ab+bc+ac)+\frac{1}{9}\leq \frac{8}{27}\)

\(\Rightarrow ab+bc+ac-abc\leq \frac{8}{27}\) (đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi $3a=3b=3c=1$

AH
Akai Haruma
Giáo viên
12 tháng 9 2018

OoO Min min OoO: Em ơi, chị nghĩ đây là cách đơn giản hữu hiệu nhất. Nếu em chưa học Schur thì có thể coi BĐT đó như một "bổ đề" để sử dụng.

Việc chứng minh BĐT Schur đơn giản như sau:

Ta thấy tổng của đôi một các số hạng \(a+b-c, b+c-a, c+a-b\) đều lớn hơn $0$ nên \(a+b-c, b+c-a, c+a-b>0\)

AM-GM:

\((a+b-c)(b+c-a)\leq \left(\frac{a+b-c+b+c-a}{2}\right)^2=b^2\)

\((a+b-c)(c+a-b)\leq \left(\frac{a+b-c+c+a-b}{2}\right)^2=a^2\)

\((b+c-a)(c+a-b)\leq \left(\frac{b+c-a+c+a-b}{2}\right)^2=c^2\)

Nhân theo vế và rút gọn thu được đpcm.

AH
Akai Haruma
Giáo viên
19 tháng 6 2021

Lời giải:

Vế đầu:

Áp dụng BĐT AM-GM:

$(ab+bc+ac)(a+b+c)\geq 9abc$

$\Leftrightarrow ab+bc+ac\geq 9abc$

$\Rightarrow ab+bc+ac-2abc\geq 9abc-2abc=7abc\geq 0$ do $a,b,c\geq 0$

Vế sau:

Áp dụng BĐT Schur:

$abc\geq (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)=(1-2a)(1-2b)(1-2c)$

$\Leftrightarrow 9abc\geq 4(ab+bc+ac)-1$

$\Rightarrow 2abc\geq \frac{8}{9}(ab+bc+ac)-\frac{2}{9}$

$\Rightarrow ab+bc+ac-2abc\leq ab+bc+ac-[\frac{8}{9}(ab+bc+ac)-\frac{2}{9}]=\frac{ab+bc+ac}{9}+\frac{2}{9}$

$\leq \frac{(a+b+c)^2}{27}+\frac{2}{9}$ (theo BĐT AM-GM)

$=\frac{1}{27}+\frac{2}{9}=\frac{7}{27}$

Ta có đpcm.

NV
30 tháng 4 2021

BĐT bị ngược dấu, BĐT đúng phải là:

\(\dfrac{a}{ac+4}+\dfrac{b}{ab+4}+\dfrac{c}{bc+4}\le\dfrac{a^2+b^2+c^2}{16}\)

9 tháng 9 2018

k mk đi

ai k mk 

mk k lại

thanks

17 tháng 1 2022

weo

NV
17 tháng 1 2022

a.

\(\sum\dfrac{ab}{a+c+b+c}\le\dfrac{1}{4}\sum\left(\dfrac{ab}{a+c}+\dfrac{ab}{b+c}\right)=\dfrac{a+b+c}{4}\)

2.

\(\dfrac{ab}{a+3b+2c}=\dfrac{ab}{a+b+2c+2b}\le\dfrac{ab}{9}\left(\dfrac{4}{a+b+2c}+\dfrac{1}{2b}\right)=4.\dfrac{ab}{a+b+2c}+\dfrac{a}{18}\)

Quay lại câu a

19 tháng 6 2021

Áp dụng bđt cosi ta có:

`a+b>=2sqrt{ab}`

`=>(ab)/(a+b)<=(sqrt{ab})/2`

Chứng minh tt:

`(bc)/(b+c)<=(sqrt{bc})/2`

`(ca)/(a+c)<=(sqrt{ca})/2`

`=>VT<=(sqrt{ab}+sqrt{bc}+sqrt{ca})/2`

Áp dụng cosi:

`sqrt{ab}<=(a+b)/2`

`sqrt{bc}<=(b+c)/2`

`sqrt{ca}<=(c+a)/2`

`=>(sqrt{ab}+sqrt{bc}+sqrt{ca})/2<=(a+b+c)/2`

`=>VT<=(a+b+c)/2`

27 tháng 12 2020

c=c.1 thay 1 bằng a+b+c xong cô si

 

NV
3 tháng 8 2021

\(\dfrac{a+b}{ab+c^2}=\dfrac{\left(a+b\right)^2}{\left(ab+c^2\right)\left(a+b\right)}=\dfrac{\left(a+b\right)^2}{b\left(a^2+c^2\right)+a\left(b^2+c^2\right)}\le\dfrac{a^2}{b\left(a^2+c^2\right)}+\dfrac{b^2}{a\left(b^2+c^2\right)}\)

Tương tự: 

\(\dfrac{b+c}{bc+a^2}\le\dfrac{b^2}{c\left(a^2+b^2\right)}+\dfrac{c^2}{b\left(a^2+c^2\right)}\) ; \(\dfrac{c+a}{ca+b^2}\le\dfrac{c^2}{a\left(b^2+c^2\right)}+\dfrac{a^2}{c\left(a^2+b^2\right)}\)

Cộng vế:

\(VT\le\dfrac{1}{a}\left(\dfrac{b^2}{b^2+c^2}+\dfrac{c^2}{b^2+c^2}\right)+\dfrac{1}{b}\left(\dfrac{a^2}{a^2+c^2}+\dfrac{c^2}{a^2+c^2}\right)+\dfrac{1}{c}\left(\dfrac{a^2}{a^2+b^2}+\dfrac{b^2}{a^2+b^2}\right)=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\)