SL
5
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
UK
1 tháng 3 2019
Ta chứng minh bổ đề sau:
\(\dfrac{5b^3-a^3}{ab+3b^2}\le2b-a\)
\(\Leftrightarrow5b^3-a^3\le\left(2b-a\right)\left(ab+3b^2\right)\)
\(\Leftrightarrow5b^3-a^3\le2ab^2+6b^3-a^2b-3b^2a\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3-a^2b-b^2a\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)-ab\left(a+b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^2-2ab+b^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2\ge0\)
Bất đẳng thức cuối luôn đúng, vậy ta có
\(M\le2a-b+2b-c+2c-a=a+b+c\)Chứng minh hoàn tất. Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)
OI
1
8 tháng 10 2016
Ta có \(\frac{4a^2}{a-1}=\frac{4a^2-4+4}{a-1}=\frac{4\left(a^2-1\right)+4}{a-1}\)
\(=\frac{4\left(a-1\right)\left(a+1\right)+4}{a-1}=4\left(a+1\right)+\frac{4}{a-1}\)
\(=4\left(a-1\right)+\frac{4}{a-1}+8\)
Vì \(a>1\Rightarrow a-1>0\), áp dụng bđt cosi cho 2 số 4(a-1) và \(\frac{4}{a-1}\)ta được
\(4\left(a-1\right)+\frac{4}{a-1}\ge2\sqrt{\frac{4\left(a-1\right).4}{a-1}}=2\sqrt{4^2}=8\)
\(\Leftrightarrow4\left(a-1\right)+\frac{4}{a-1}+8\ge16\)
\(\Leftrightarrow\frac{4a^2}{a-1}\ge16\) (1)
Chững minh tương tự, ta được
\(\frac{5b^2}{b-1}\ge20\) (2)
\(\frac{3c^2}{c-1}\ge12\) (3)
Cộng (1)(2)(3) ta được
\(\frac{4a^2}{a-1}+\frac{5b^2}{b-1}+\frac{3b^2}{c-1}\ge48\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
13 tháng 4 2021
Lời giải:
Bạn nhớ tới bổ đề sau: Với $a,b>0$ thì $a^3+b^3\geq ab(a+b)$.
Áp dụng vào bài:
$5a^3-b^3\leq 5a^3-[ab(a+b)-a^3]=6a^3-ab(a+b)$
$\Rightarrow \frac{5a^3-b^3}{ab+3a^2}\leq \frac{6a^3-ab(a+b)}{ab+3a^2}=\frac{6a^2-ab-b^2}{3a+b}=\frac{(3a+b)(2a-b)}{3a+b}=2a-b$
Tương tự:
$\frac{5b^3-c^3}{bc+3b^2}\leq 2b-c; \frac{5c^3-a^3}{ca+3c^2}\leq 2c-a$
Cộng theo vế:
$\Rightarrow \text{VT}\leq a+b+c=3$
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$
23 tháng 6 2021
\(VT=\dfrac{a^3bc}{c+ab^2c}+\dfrac{ab^3c}{a+abc^2}+\dfrac{abc^3}{b+a^2bc}\)
\(=abc\left(\dfrac{a^2}{c+ab^2c}+\dfrac{b^2}{a+abc^2}+\dfrac{c^2}{b+a^2bc}\right)\)
Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz dạng engel có:
\(VT\ge\dfrac{abc\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c+abc\left(a+b+c\right)}\)\(=\dfrac{abc\left(a+b+c\right)}{1+abc}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
Vậy...
23 tháng 6 2021
Sai đề không bạn,tại a=b=c=2 thay vào không thỏa mãn nha
N
7 tháng 12 2017
Bài 1:
dự đoán dấu = sẽ là \(a^2=b^2=c^2=\dfrac{1}{2}\) nên cứ thế mà chém thôi .
Ta có: \(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)=\left(a^2+\dfrac{1}{2}\right)\left(\dfrac{1}{2}+b^2\right)+\dfrac{1}{2}\left(a^2+b^2\right)+\dfrac{3}{4}\)
Bunyakovsky:\(\left(a^2+\dfrac{1}{2}\right)\left(\dfrac{1}{2}+b^2\right)+\dfrac{1}{2}\left(a^2+b^2\right)+\dfrac{3}{4}\ge\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2+\dfrac{1}{4}\left(a+b\right)^2+\dfrac{3}{4}=\dfrac{3}{4}\left[\left(a+b\right)^2+1\right]\)
\(VT=\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)\ge\dfrac{3}{4}\left[\left(a+b\right)^2+1\right]\left(1+c^2\right)\ge\dfrac{3}{4}\left(a+b+c\right)^2\)(đpcm)
Dấu = xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)
P/s: còn 1 cách khác nữa đó là khai triển sau đó xài schur . Chi tiết trong tệp BĐT schur .pdf
NH
20 tháng 2 2020
\(+\frac{20b^3-\left(a^3+b^3\right)}{ab+5b^2}\le\frac{20b^3-ab\left(a+b\right)}{ab+5b^2}=\frac{b\left(20b^2-a^2-ab\right)}{b\left(a+5b\right)}=\frac{\left(4b-a\right)\left(a+5b\right)}{a+5b}=4b-a\)
( áp dụng bđt : \(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\) ( biến đổi tương đương là c/m đc ) )
Dấu "=" \(\Leftrightarrow a=b\)
+ Tương tự : \(\frac{19c^3-b^3}{bc+5c^2}\le4c-b\) Dấu "=" <=> b = c
\(\frac{19a^3-c^3}{ac+5a^2}\le4a-c\) Dấu "=" \(\Leftrightarrow a=c\)
Cộng vế theo vế ta có đpcm. Dấu "=" \(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)
qua vo van
Thôi làm luôn nãy h chém nhiều mỏi tay quá. Bổ sung điều kiện a;b;c>1
\(\dfrac{4a^2}{a-1}+\dfrac{5b^2}{b-1}+\dfrac{3c^2}{c-1}\ge48\)
\(\Rightarrow\left(\dfrac{4a^2}{a-1}-16\right)+\left(\dfrac{5b^2}{b-1}-20\right)+\left(\dfrac{3c^2}{c-1}-12\right)\ge0\)
\(\Rightarrow\dfrac{4a^2-16a+16}{a-1}+\dfrac{5b^2-20b+20}{b-1}+\dfrac{3c^2-12c+12}{c-1}\ge0\)
\(\Rightarrow\dfrac{4\left(a-2\right)^2}{a-1}+\dfrac{5\left(b-2\right)^2}{b-1}+\dfrac{3\left(c-2\right)^2}{c-1}\ge0\) (đúng)
Dấu "=" khi \(a=b=c=2\)