Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có: a x + b = 0 ⇔ x = - b a
Và c x + d = 0 ⇔ x = - d c
Theo giả thiết ta có: - b a < - d c ⇔ b a > d c
Đặt 4 căn thức lần lượt là \(\left(x;y;z;t\right)\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2+t^2=3\)
Ta cần chứng minh: \(x+y+z+t\le2\sqrt{3}\)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki:
\(\left(x+y+z+t\right)^2\le\left(1+1+1+1\right)\left(x^2+y^2+z^2+t^2\right)=12\)
\(\Rightarrow x+y+z+t\le2\sqrt{3}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=d=\frac{1}{4}\)
P/s: việc đặt chỉ để viết cho ngắn, còn thực chất bạn áp dụng luôn Buniacopxki cho 1 dòng cũng được
Đặt vế trái là P
\(\frac{a^3}{b^2}+b+b\ge3\sqrt[3]{\frac{a^3b^2}{b^2}}=3a\)
Tương tự: \(\frac{b^3}{c^2}+2c\ge3b\) ; \(\frac{c^3}{d^2}+2d\ge3c\); \(\frac{d^3}{a^2}+2a\ge3d\)
Cộng vế với vế:
\(P+2\left(a+b+c+d\right)\ge3\left(a+b+c+d\right)\)
\(\Leftrightarrow P\ge a+b+c+d\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=d\)
Ta áp dụng Cauchy 2 số
\(a^4+b^4+c^4+d^4\ge2a^2b^2+2c^2d^2\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+d^4\ge2\left(a^2b^2+c^2d^2\right)\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+d^4\ge2\cdot2abcd\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+d^4\ge4abcd\)
Dấu = khi \(\begin{cases}a^4=b^4\\c^4=d^4\\a^2b^2=c^2d^2\end{cases}\)\(\Rightarrow a=b=c=d\)
Nhanh hơn có thể dùng Cauchy 4 số
\(a^4+b^4+c^4+d^4\ge4\cdot\sqrt[4]{a^4b^4c^4d^4}\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+d^4\ge4abcd\)
Dấu = khi các biến bằng nhau
\(\Leftrightarrow a=b=c=d\)