TV
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
N
30 tháng 11 2019
Ta co:
\(\frac{1}{a+b^2}+\frac{1}{a^2+b}=\frac{1}{\frac{a^2}{a}+b^2}+\frac{1}{a^2+\frac{b^2}{b}}\ge\frac{1}{\frac{\left(a+b\right)^2}{a+1}}+\text{ }\frac{1}{\frac{\left(a+b\right)^2}{b+1}}=\frac{a+b+2}{\left(a+b\right)^2}\)
Ta di chung minh:
\(\frac{a+b+2}{\left(a+b\right)^2}\le1\)
Dat \(t=a+b\left(t\ge2\right)\)
BDT can chung minh la:
\(\frac{t+2}{t^2}\le1\)
\(\Leftrightarrow\left(t-2\right)\left(t+1\right)\ge0\left(True\right)\)
Dau '=' xay ra khi \(a=b=1\)
30 tháng 11 2019
Ta có:\(\frac{1}{a+b^2}\le\frac{1}{2b\sqrt{a}}\)( áp dụng bất đẳng thức coossi cho a và b^2 rồi nghịch đảo)
\(\frac{1}{b^2+a}\le\frac{1}{2b\sqrt{a}}\)
Do đó: \(\frac{1}{a+b^2}+\frac{1}{b+a^2}\le\frac{1}{2b\sqrt{a}}+\frac{1}{2a\sqrt{b}}\)
\(=\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2ab}=\frac{\sqrt{a}.1+\sqrt{b}.1}{2ab}\)
\(\le\frac{\frac{a+1}{2}+\frac{b+1}{2}}{2ab}=\frac{a+b+2}{4ab}\)( áp dụng bất đẳng thức cosi cho \(\sqrt{a}.1\)và \(\sqrt{b}.1\))
\(\le\frac{a+b+2}{\left(a+b\right)^2}=\frac{a+b}{\left(a+b\right)^2}+\frac{2}{\left(a+b\right)^2}\)
\(=\frac{1}{a+b}+\frac{2}{\left(a+b\right)^2}\)
\(\le\frac{1}{2}+\frac{2}{4}=1\)( do a+b\(\ge\)2 nên \(\frac{1}{a+b}\le\frac{1}{2}\)và \(\left(a+b\right)^2\ge4\)nên \(\frac{2}{\left(a+b\right)^2}\le\frac{2}{4}\))
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b=1
20 tháng 4 2017
Hehe
1) Áp dụng hằng bất đẳng thức số 1: (a-b)^2>=0 với mọi a,b
=> a^2- 2ab+ b^2>= 0 với mọi a,b
=> a^2+2ab+ b^2>= 4ab với a,b>0
=> (a+b)^2> 4ab với a,b>0
=> a+b>= \(2\sqrt{ab}\)
Dấu = xảy ra <=> a-b=0 <=> a= b
Cái này là bất đẳng thức cô- si. lớp 8 được học rồi mà :D
2) Chắc thiếu đề :D
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
30 tháng 6 2021
\(c\ge\sqrt{ab}\Leftrightarrow\dfrac{c}{a}.\dfrac{c}{b}\ge1\)
BĐT cần chứng minh tương đương:
\(\dfrac{\left(c+a\right)^2}{c^2+a^2}\ge\dfrac{\left(c+b\right)^2}{c^2+b^2}\Leftrightarrow\dfrac{\left(\dfrac{c}{a}+1\right)^2}{\left(\dfrac{c}{a}\right)^2+1}\ge\dfrac{\left(\dfrac{c}{b}+1\right)^2}{\left(\dfrac{c}{b}\right)^2+1}\)
Đặt \(\left(\dfrac{c}{a};\dfrac{c}{b}\right)=\left(x;y\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}xy\ge1\\y>x\Rightarrow y-x>0\end{matrix}\right.\) (1)
BĐT cần c/m trở thành: \(\dfrac{\left(x+1\right)^2}{x^2+1}\ge\dfrac{\left(y+1\right)^2}{y^2+1}\Leftrightarrow\dfrac{x}{x^2+1}\ge\dfrac{y}{y^2+1}\)
\(\Leftrightarrow xy^2+x\ge x^2y+y\Leftrightarrow xy\left(y-x\right)-\left(y-x\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(xy-1\right)\left(y-x\right)\ge0\) luôn đúng theo (1)
Vậy BĐT đã cho được c/m
Dấu "=" xảy ra khi \(xy=1\) hay \(c=\sqrt{ab}\)
LT
4
T
12 tháng 12 2019
min(!;1;1)
max (0;0;3)
Do vai trò của a, b, c là bình đẳng nên ta có thể giả sử \(a\ge b\ge c\)
*Tìm Min:
Cách 1:
Theo nguyên lí Dirichlet trong 3 số a -1; b-1; c-1 tồn tại ít nhất 2 số mà tích chúng không âm. Giả sử\(\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0\Rightarrow abc\ge ca+bc-c\)
Từ đó \(P\ge a^2+b^2+c^2+ca+bc-c=a^2+b^2+c\left(a+b+c-1\right)\)
\(=\left(a^2+1\right)+\left(b^2+1\right)+2c-2\ge2\left(a+b+c\right)-2=4\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=1\)
*Tìm max:
\(P\le a^2+b^2+c^2+6abc\)
Ta sẽ chứng minh: \(a^2+b^2+c^2+6abc\le9=\left(a+b+c\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)+18abc\le\left(a+b+c\right)^3\)
\(VP-VP=2\left[a\left(b-c\right)^2+b\left(c-a\right)^2+c\left(a-b\right)^2\right]\ge0\)
Đẳng thức xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(0;0;3\right)\) và các hoán vị.