K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

25 tháng 3 2018

Đặt: \(L=\dfrac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\dfrac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\dfrac{c^3}{c^2+ac+a^2}\)

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:

\(\dfrac{a^3}{a^2+ab+b^2}\ge\dfrac{a^3}{a^2+\dfrac{a^2+b^2}{2}+b^2}=\dfrac{a^3}{\dfrac{3}{2}\left(a^2+b^2\right)}\)

Chứng minh tương tự: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{b^3}{b^2+bc+c^2}\ge\dfrac{b^3}{\dfrac{3}{2}\left(b^2+c^2\right)}\\\dfrac{c^3}{c^2+ac+a^2}\ge\dfrac{c^3}{\dfrac{3}{2}\left(c^2+a^2\right)}\end{matrix}\right.\)

Cộng theo vế: \(L\ge\dfrac{2}{3}\left(\dfrac{a^3}{a^2+b^2}+\dfrac{b^3}{b^2+c^2}+\dfrac{c^3}{c^2+a^2}\right)\)

Tiếp tục áp dụng AM-GM:

\(\dfrac{a^3}{a^2+b^2}=\dfrac{a\left(a^2+b^2\right)-ab^2}{a^2+b^2}=a-\dfrac{ab^2}{a^2+b^2}\ge a-\dfrac{ab^2}{2ab}=a-\dfrac{b}{2}\)

Chứng minh tương tự: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{b^3}{b^2+c^2}\ge b-\dfrac{c}{2}\\\dfrac{c^3}{c^2+a^2}\ge c-\dfrac{a}{2}\end{matrix}\right.\)

Cộng theo vế:

\(L\ge\dfrac{2}{3}\left(\dfrac{a^3}{a^2+b^2}+\dfrac{b^3}{b^2+c^2}+\dfrac{c^3}{c^2+a^2}\right)\ge\dfrac{2}{3}\left(a+b+c-\dfrac{a+b+c}{2}\right)=\dfrac{a+b+c}{3}\)

NV
18 tháng 9 2021

\(\dfrac{2}{a+2}+\dfrac{2}{b+2}+\dfrac{2}{c+2}\ge2\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2}{a+2}-1+\dfrac{2}{b+2}-1+\dfrac{2}{c+2}-1\ge2-3\)

\(\Rightarrow1\ge\dfrac{a}{a+2}+\dfrac{b}{b+2}+\dfrac{c}{c+2}=\dfrac{a^2}{a^2+2a}+\dfrac{b^2}{b^2+2b}+\dfrac{c^2}{c^2+2c}\)

\(\Rightarrow1\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+2a+b^2+2b+c^2+2c}\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(a+b+c\right)\ge a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Rightarrow\) đpcm

18 tháng 9 2021

Phía trên thoả mãn \(\ge1\) chứ không phải 3/2 đâu ạ 

23 tháng 9 2021

Áp dụng BĐT Cosi:

\(\dfrac{a}{\sqrt{b^2+ab}}=\dfrac{a\sqrt{2}}{\sqrt{2\left(b^2+ab\right)}}=\dfrac{a\sqrt{2}}{\sqrt{2b\left(a+b\right)}}\ge\dfrac{a\sqrt{2}}{\dfrac{2b+a+b}{2}}=\dfrac{2\sqrt{2}a}{a+3b}\)

Cmtt: \(\dfrac{b}{\sqrt{c^2+bc}}\ge\dfrac{2\sqrt{2}b}{b+3c};\dfrac{c}{\sqrt{a^2+ca}}\ge\dfrac{2\sqrt{2}c}{c+3a}\)

\(\Leftrightarrow P\ge2\sqrt{2}\left(\dfrac{a}{a+3b}+\dfrac{b}{b+3c}+\dfrac{c}{c+3a}\right)\\ \Leftrightarrow\dfrac{P}{\sqrt{2}}\ge2\left(\dfrac{a}{a+3b}+\dfrac{b}{b+3c}+\dfrac{c}{c+3a}\right)\\ \Leftrightarrow\dfrac{P}{\sqrt{2}}\ge\dfrac{2\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+3\left(ab+bc+ca\right)}\ge\dfrac{2\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2+\dfrac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2}\\ \Leftrightarrow\dfrac{P}{\sqrt{2}}\ge\dfrac{2}{\dfrac{4}{3}}=\dfrac{3}{2}\\ \Leftrightarrow P\ge\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\)

Dấu \("="\Leftrightarrow a=b=c\)

23 tháng 9 2021

từ dòng thứ 4 lm sao suy ra dòng thứ 5 thế ạ

NV
25 tháng 3 2022

\(\sum\dfrac{a}{\sqrt{ab+b^2}}=\sum\dfrac{a\sqrt{2}}{\sqrt{2b\left(a+b\right)}}\ge\sum\dfrac{2\sqrt{2}a}{2b+a+b}=2\sqrt{2}\sum\dfrac{a}{a+3b}\)

\(=2\sqrt{2}\sum\dfrac{a^2}{a^2+3ab}\ge\dfrac{2\sqrt{2}\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+3\left(ab+bc+ca\right)}\)

\(=\dfrac{2\sqrt{2}\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2+ab+bc+ca}\ge\dfrac{2\sqrt{2}\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2+\dfrac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\)

16 tháng 12 2017

Lời giải ở đây: https://hoc24.vn/hoi-dap/question/486195.html

AH
Akai Haruma
Giáo viên
21 tháng 9 2021

Lời giải:
$\text{VT}=\sum \frac{a^2}{a+b^2}=\sum (a-\frac{ab^2}{a+b^2})$

$=\sum a-\sum \frac{ab^2}{a+b^2}$

$\geq \sum a-\sum \frac{ab^2}{2b\sqrt{a}}$ (theo BĐT AM-GM)

$=\sum a-\frac{1}{2}\sum \sqrt{ab^2}$

$\geq \sum a-\frac{1}{2}\sum \frac{ab+b}{2}$ (AM-GM)

$=\frac{3}{4}\sum a-\frac{1}{4}\sum ab$

Giờ ta chỉ cần cm $\sum a\geq \sum ab$ là bài toán được giải quyết

Thật vậy:
Đặt $\sum ab=t$ thì hiển nhiên $0< t\leq 3$ theo BĐT AM-GM

$(\sum a)^2-(\sum ab)^2=3+2t-t^2=(3-t)(t+1)\geq 0$ với mọi $0< t\leq 3$

$\Rightarrow \sum a\geq \sum ab$

Vậy ta có đcpcm.

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$

AH
Akai Haruma
Giáo viên
4 tháng 7 2018

Vế trái bậc 0, vế phải bậc 1, không đồng bậc với nhau . BĐT sai ngay với \(a=9,b=3,c=6\)

Sửa: \(\frac{a^2}{bc}+\frac{b^2}{ac}+\frac{c^2}{ab}\geq \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{ab+bc+ac}\)

Chứng minh:

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\(\text{VT}=\frac{a^2}{bc}+\frac{b^2}{ac}+\frac{c^2}{ab}=\frac{a^4}{a^2bc}+\frac{b^4}{b^2ac}+\frac{c^4}{c^2ab}\)

\(\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a^2bc+b^2ac+c^2ab}=\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{abc(a+b+c)}(1)\)

Ta có kết quả quen thuộc của BĐT Cauchy là:

\(a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ac\)

Và: \((ab+bc+ac)^2\geq 3abc(a+b+c)\)

Do đó: \(a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ac\geq \frac{3abc(a+b+c)}{ab+bc+ac}(2)\)

Từ \((1);(2)\Rightarrow \text{VT}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2).3abc(a+b+c)}{(ab+bc+ac)abc(a+b+c)}=\frac{3(a^2+b^2+c^2)}{ab+bc+ac}\) (đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$

4 tháng 7 2018

xin lỗi là \(a^3+b^3+c^3\) nhé