Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Sửa lại đề:
Tính \(A=\frac{(a+b)^2(b+c)^2(c+a)^2}{(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)}\)
---------------------------
Lời giải:
\(a^2+1=a^2+ab+bc+ac=(a+b)(a+c)\)
\(b^2+1=b^2+ab+bc+ac=(b+a)(b+c)\)
\(c^2+1=c^2+ab+bc+ac=(c+a)(c+b)\)
\(\Rightarrow (a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)=(a+b)^2(b+c)^2(c+a)^2\)
$\Rightarrow A=1$
\(1,\text{Giả sử }a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\\ \Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca\ge0\\ \Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\left(\text{luôn đúng}\right)\)
Vậy \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
Dấu \("="\Leftrightarrow a=b=c\)
\(2,\forall a,b,c>0\\ \text{Áp dụng BĐT cosi: }\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge3\sqrt[3]{abc}\cdot3\sqrt[3]{\dfrac{1}{abc}}=9\sqrt[3]{\dfrac{abc}{abc}}=9\)
Dấu \("="\Leftrightarrow a=b=c\)
Bài 1:
a ) a.( b2 + c2 ) + b.( a2 + c2 ) + c.( a2 + b2 ) + 2abc
= ab2 + ac2 + a2b + bc2 + a2c + b2c + 2abc
= ( ab2 + a2b ) + ( ac2 + bc2 ) + ( a2c + 2abc + b2c )
= ab.( a + b ) + c2.( a + b ) + c.( a2 + 2ab + b2 )
= ab.( a + b ) + c2.( a + b )v + c.( a + b)2
= ( a + b ).[ ( ab + c2 + c. ( a + b ) ]
= ( a + b ).( ab + c2 + ac + bc )
= ( a + b ).[ ( ab + ac ) + ( c2 + bc) ]
= ( a + b ).[ a.( b + c ) + c.( b + c ) ]
= ( a + b ).( b + c ).( a + c )
b) ab.( a + b ) - bc.( b + c ) + ac.( a - c )
= ab.( a + b ) - bc.( b + c ) + ac.[ ( a + b ) - ( b + c ) ]
= ab.( a + b ) - bc. ( b + c ) + ac.( a + b ) - ac.( b + c )
= ab.( a + b ) + ac.( a + b ) - bc.( b + c ) - ac.( b + c )
= ( a + b ).( ab + ac ) + ( b + c ).( -bc - ac )
= ( a + b ).a.( b + c ) - ( b + c ).c.( a + b )
= ( a + b ).( b + c ).( a - c )
c) ( x2 + x )2 + 2.( x2 + x ) - 3
Đặt x2 + x = a
Khi đó đa thức trở thành:
a2 + 2a - 3
= a2 + 3a - a - 3
= a.( a + 3 ) - ( a + 3 )
= ( a - 1 ).( a - 3 )
\(\Rightarrow\) ( x2 + x - 1 ).( x2 + x - 3 )
B2
ab.( a - b ) + bc.( b - c ) + ca.( c - a ) = 0
\(\Leftrightarrow\)ab.( a - b ) + bc.( b - c ) - ca.[ ( a - b ) + ( b - c ) ] = 0
\(\Leftrightarrow\)ab.( a - b ) + bc.( b - c ) - ca.( a - b ) - ca.( b - c ) = 0
\(\Leftrightarrow\)ab.( a - b ) - ca.( a - b ) + bc.( b - c ) - ca.( b - c ) = 0
\(\Leftrightarrow\) ( a - b ).( ab - ca ) + ( b - c ).( bc - ca ) = 0
\(\Leftrightarrow\) ( a - b ).a.( b - c ) - ( b - c ).c.( a - b ) = 0
\(\Leftrightarrow\) ( a - b ).( b - c ).( a - c ) = 0
\(\Leftrightarrow\) ( a - b ).( b - c ).( a - c ) = 0
\(\Leftrightarrow\) a = b , b = c , a = c
\(\Rightarrow\) a = b = c
d) (b+c)(b+a)(c-a)
c) (b-1)(ac+1-a-c)
thông cảm 2 câu đầu chưa nghĩ ra
Vì ab + bc + ca = 1 nên
a 2 + 1 = a 2 + ab + bc + ca = a(a + b) + c(a + b) = (a + c)(a + b)
b 2 + 1 = b 2 + ab + bc + ca = b(a + b) + c(a + b) = (b + c)(a + b)
c 2 + 1 = c 2 + ab + bc + ca = ( c 2 + bc) + (ab + ac)
= c(c + b) + a(b + c) = (a + c)(b + c)
Từ đó suy ra ( a 2 + 1 ) ( b 2 + 1 ) ( c 2 + 1 )
= (a + c)(a + b).(b + c)(a + b).(a + c)(b + c)
= ( a + c ) 2 ( a + b ) 2 ( b + c ) 2
Vậy ( a 2 + 1 ) ( b 2 + 1 ) ( c 2 + 1 ) = ( a + c ) 2 ( a + b ) 2 ( b + c ) 2
Đáp án cần chọn là: D