Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có:\(a^4;b^4;c^4;d^4\ge0;\forall a;b;c;d\)
Áp dụng BĐT AM-GM, ta có:
\(a^4+b^4+c^4+d^4\ge4\sqrt[4]{a^4b^4c^4d^4}\)
\(a^4+b^4+c^4+d^4\ge4abcd\) ( đfcm )
\(a^4+b^4+c^4+d^4\ge4\sqrt[4]{a^4b^4c^4d^4}=4\left|abcd\right|\ge4abcd\)
Dấu "=" xảy ra nên: \(a=b=c=d\)
\(\Rightarrow P=\left(1+1\right)\left(1+1\right)\left(1+1\right)\left(1+1\right)=16\)
Với a,b,c,d >0\(a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+d^4-4abcd=0\Leftrightarrow\left(a^4-2a^2b^2+b^4\right)+\left(c^4-2c^2d^2+d^4\right)+\left(2a^2b^2+2c^2d^2-4abcd\right)=0\Leftrightarrow\left(a^2-b^2\right)^2+\left(c^2-d^2\right)^2-2\left(a^2b^2-2abcd+c^2d^2\right)=0\Leftrightarrow\left(a^2-b^2\right)^2+\left(c^2-d^2\right)^2-2\left(ab-cd\right)^2=0\)
Ta thấy: \(\left\{{}\begin{matrix}\left(a^2-b^2\right)^2\ge0\forall a,b\\\left(c^2-d^2\right)^2\ge0\forall c,d\\\left(ab-cd\right)^2\ge0\forall a,b,c,d\end{matrix}\right.\)
Do đó: \(\left\{{}\begin{matrix}a^2-b^2=0\\c^2-d^2=0\\ab-cd=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2=b^2\\c^2=d^2\\ab=cd\end{matrix}\right.\Leftrightarrow a=b=c=d\left(\text{đ}pcm\right)\)
Áp dụng BĐT Cauchy cho 4 số dương:
\(a^4+b^4+c^4+d^4\ge4\sqrt[4]{\left(abcd\right)^4}=4abcd\)
(Dấu "="\(\Leftrightarrow a=b=c=d\))
\(\Rightarrow a=b=c=d=\frac{2016}{4}=504\)
Bài này em làm nhầm rồi nhé: chú ý: \(\sqrt[4]{\left(abcd\right)^4}=\left|abcd\right|\ne abcd\) nhé!
Áp dụng BĐT Cauchy, ta có:
\(a^4+b^4+c^4+d^4\ge4\sqrt[4]{a^4b^4c^4d^4}=4abcd\)
Dấu = xảy ra khi a=b=c=d
Vậy a=b=c=d
`a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd`
`<=>a^4-2a^2b^2+b^4+c^4-2c^2d^2+d^4=4abcd-2a^2b^2-2c^2d^2`
`<=>(a^2-b^2)^2+(c^2-d^2)^2+2(a^2b^2-2abcd+c^2d^2)>=0`
`<=>(a^2-b^2)^2+(c^2-d^2)^2+2(ab-cd)^2=0`
Vì `VT>=0AA a,b,c,d`
Dấu "=" xảy ra khi `a^2=b^2,c^2=d^2,ab=cd`
`<=>a=b=c=d`
áp dụng BDT AM-GM
\(=>a^4+b^4\ge2\sqrt{\left(ab\right)^4}=2a^2b^2\left(1\right)\)
\(=>c^4+d^4\ge2\sqrt{c^4d^4}=2c^2d^2\left(2\right)\)
(1)(2)\(=>a^4+b^4+c^4+d^4\ge2\left(a^2b^2+c^2d^2\right)\ge4abcd\)
dấu"=" xảy ra\(< =>\left\{{}\begin{matrix}a^4=b^4\\c^4=d^4\end{matrix}\right.< =>a=b=c=d}\)