TP
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
22 tháng 6 2018
https://hoc24.vn/hoi-dap/question/626535.html
Tôi trả lời nhầm ở đây do 2 câu gần nhau và giống nhau quá!
23 tháng 9 2017
ta có:
\(\left(b-c\right)^2\ge0\Leftrightarrow b^2+4bc+4c^2\le3b^2+6c^2\Leftrightarrow\left(b+2c\right)^2\le3b^2+6c^2\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(b+2c\right)^2}{3b^2+6c^2}\le1\Leftrightarrow\frac{b+2c}{\sqrt{3b^2+6c^2}}\le1\Leftrightarrow\frac{a\left(b+2c\right)}{\sqrt{3b^2+6c^2}}\le a\)
cmtt =>\(\frac{a\left(b+2c\right)}{\sqrt{3b^2+6c^2}}+\frac{b\left(c+2a\right)}{\sqrt{3c^2+6a^2}}+\frac{c\left(a+2b\right)}{\sqrt{3a^2+6b^2}}\le a+b+c\left(Q.E.D\right)\)
dấu = xảy ra khi a=b=c
AH
Akai Haruma
Giáo viên
18 tháng 1 2017
Lời giải:
Để nhìn biểu thức cho đơn giản, ta đảo \((a,b,c)\mapsto \left(\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}\right)\)
Bài toán trở thành:
Cho \(a,b,c>0\) thỏa mãn \(2(a^2+b^2+c^2)=ab+bc+ac+\frac{1}{3}\)
Tìm max của \(P=\sum\frac{ab}{\sqrt{6b^2+3a^2}}\)
--------------------------------------------------------------------------------
Áp dụng BĐt Cauchy-Schwarz:
\((6b^2+3a^2)(2+1)\geq (2\sqrt{3}b+\sqrt{3}a)^2\) \(\Rightarrow \frac{ab}{\sqrt{6b^2+3a^2}}\leq\frac{ab}{2b+a}\)
Thiết lập tương tự với các phân thức còn lại:
\(\Rightarrow P\leq \frac{ab}{2b+a}+\frac{bc}{2c+b}+\frac{ac}{2a+c}\) $(1)$
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz: \(ab\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{a}\right)\geq \frac{9ab}{2b+a}\)
Tương tự... \(\Rightarrow \frac{ab}{2b+a}+\frac{bc}{2c+b}+\frac{ac}{2c+a}\leq \frac{a+b+c}{3}\) $(2)$
Mặt khác, ta biết rằng \((a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ac)\) nên từ đkđb \(2(a^2+b^2+c^2)=ab+bc+ac+\frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow 2(a+b+c)^2=5(ab+bc+ac)+\frac{1}{3}\leq \frac{5(a+b+c)^2}{3}+\frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow a+b+c\leq 1\) $(3)$
Từ \((1),(2),(3)\Rightarrow P\leq\frac{1}{3}\)
Dấu $=$ xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$
AH
Akai Haruma
Giáo viên
18 tháng 1 2017
Bài trên bạn đoán được nghiệm là $5$ thì dùng pp liên hợp đơn giản.
\(\Leftrightarrow (\sqrt{3x+1}-4)-(\sqrt{6-x}-1)+3x^2-14x-5=0\)
\(\Leftrightarrow \frac{3(x-5)}{\sqrt{3x+1}+4}+\frac{x-5}{\sqrt{6-x}+1}+(x-5)(3x+1)=0\)
\(\Leftrightarrow (x-5)(....)=0\)
Vế bên trong dấu ngoặc hiển nhiên dương nên $x=5$
KN
25 tháng 4 2020
Áp dụng bất đẳng thức Cô - si cho 2 số không âm, ta có:
\(\frac{a^2+6a+3}{a^2+a}=\frac{\left(3a^2+3\right)+6a-2a^2}{a^2+a}\ge\frac{6a+6a-2a^2}{a^2+a}\)
\(=\frac{12a-2a^2}{a^2+a}=\frac{14}{a+1}-2\)
Tương tự ta có: \(\frac{b^2+6b+3}{b^2+b}\ge\frac{14}{b+1}-2\);\(\frac{c^2+6c+3}{c^2+c}\ge\frac{14}{c+1}-2\)
Cộng từng vế của 3 bất đẳng thức trên và sử dụng BĐT Bunhiacopxki dạng phân thức, ta được:
\(A\ge14\left(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\right)-6\ge14.\frac{9}{a+b+c+3}-6\)
\(\ge14.\frac{9}{3+3}-6=15\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
KN
7 tháng 6 2020
Cách 2, dùng UCT xét BĐT phụ
Xét BĐT phụ: \(\frac{x^2+6x+3}{x^2+x}\ge\frac{-7}{2}x+\frac{17}{2}\)(*)
Thật vậy: (*)\(\Leftrightarrow\frac{\left(7x+6\right)\left(x-1\right)^2}{2\left(x^2+x\right)}\ge0\)(Đúng với mọi x dương)
Áp dụng, ta được: \(A=\frac{a^2+6a+3}{a^2+a}+\frac{b^2+6b+3}{b^2+b}+\frac{c^2+6c+3}{c^2+c}\)\(\ge\frac{-7}{2}\left(a+b+c\right)+\frac{17}{2}.3=\ge\frac{-7}{2}.3+\frac{51}{2}=15\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
TN
2 tháng 4 2017
Đặt \(x=a;y=\frac{b}{2};z=\frac{c}{3}\left(x,y,z>0\right)\) và\(x+y+z=xyz\)
Khi đó ta có: \(B=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+z^2}}\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}=\sqrt{\frac{xyz}{x^2\left(x+y+z\right)+xyz}}\le\sqrt{\frac{yz}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\le\frac{y}{2\left(x+y\right)}+\frac{z}{2\left(x+z\right)}\)
Tương tự có: \(\frac{1}{\sqrt{1+y^2}}\le\frac{x}{2\left(x+y\right)}+\frac{z}{2\left(y+z\right)};\frac{1}{\sqrt{1+z^2}}\le\frac{x}{2\left(x+z\right)}+\frac{y}{2\left(y+z\right)}\)
\(\Rightarrow B\le\frac{x+y}{2\left(x+y\right)}+\frac{x+z}{2\left(x+z\right)}+\frac{y+z}{2\left(y+z\right)}=\frac{3}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=\sqrt{3}\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=\sqrt{3}\\b=2\sqrt{3}\\c=3\sqrt{3}\end{cases}}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
24 tháng 9 2019
\(\sqrt{a^2+b^2+6c}=\sqrt{a^2+b^2+2c\left(a+b+c\right)}\)
\(=\sqrt{a^2+b^2+2c^2+2bc+2ca}=\sqrt{\left(a+c\right)^2+\left(b+c\right)^2}\)
\(\Rightarrow\frac{a+b}{\sqrt{\left(a+c\right)^2+\left(b+c\right)^2}}=\sqrt{\frac{\left(a+b\right)^2}{\left(a+c\right)^2+\left(b+c\right)^2}}\)
Đặt \(\left(\left(a+b\right)^2;\left(b+c\right)^2;\left(c+a\right)^2\right)=\left(x;y;z\right)\)
\(\Rightarrow P=\sum\sqrt{\frac{x}{y+z}}\)
Đến đây thì dễ rồi, bài toán cơ bản
\(\sqrt{x\left(y+z\right)}\le\frac{x+y+z}{2}\Rightarrow\frac{x\sqrt{y+z}}{\sqrt{x}}\le\frac{x+y+z}{2}\Rightarrow\sqrt{\frac{y+z}{x}}\le\frac{x+y+z}{2x}\)
\(\Rightarrow\sqrt{\frac{x}{y+z}}\ge\frac{2x}{x+y+z}\Rightarrow P\ge\sum\frac{2x}{x+y+z}=2\)
Dấu "=" ko xảy ra nên \(P>2\)