TN
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
CV
5 tháng 10 2016
Đặt M=a2007+b2007
Do \(a^{100}+b^{100}=a^{101}+b^{101}=a^{102}+b^{102}\)(1)
\(\Rightarrow\left(a^{101}+b^{101}\right)^2=\left(a^{100}+b^{100}\right)\left(a^{102}+b^{102}\right)\)
\(\Leftrightarrow a^{202}+b^{202}+2.a^{101}.b^{101}=a^{202}+a^{100}.b^{102}+a^{102}.b^{100}+b^{202}\)
\(\Leftrightarrow2.a^{101}.b^{101}=a^{100}.b^{100}\left(a^2+b^2\right)\)
\(\Leftrightarrow a^{100}.b^{100}\left(a^2-2ab+b^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow a^{100}.b^{100}\left(a-b\right)^2=0\)
Do a,b > 0 => (a-b)2=0 <=> a=b
Thay a=b vào (1) ta được
\(2.a^{100}=2.a^{101}=2.a^{102}\)
\(\Leftrightarrow a^{100}=a^{101}\)
\(\Leftrightarrow a^{100}\left(a-1\right)=0\)
Do a>0 nên a=1 =>b=1
Vậy M=12017+12017=2
TN
2 tháng 10 2016
\(a^{100}+b^{100}=a^{101}+b^{101}\)
\(\Rightarrow a^{101}-a^{100}+b^{101}-b^{100}=0\)
\(\Rightarrow a^{100}\left(a-1\right)+b^{100}\left(b-1\right)=0\left(1\right)\)
- Nếu a và b cùng lớn hơn 1 thì: a-1 và b-1 đều dương nên:
\(a^{100}\left(a-1\right)+b^{100}\left(b-1\right)>0\) không đúng với (1)
- Nếu a và b cùng nhỏ hơn 1 thì: a-1 và b-1 đều âm nên:
\(a^{100}\left(a-1\right)+b^{100}\left(b-1\right)< 0\) không đúng với (1)
- Nếu a và b có 1 số lớn hơn hoặc bằng 1 và 1 số nhỏ hơn hoặc bằng 1
Không mất tính tổng quát, giả sử \(a\ge1;b\le1\)
Ta có:
\(a^{100}\left(a-1\right)+b^{100}\left(b-1\right)=0\)
\(\Rightarrow a^{100}\left(a-1\right)=b^{100}\left(b-1\right)\left(2\right)\)
Lại có:
\(a^{101}+b^{101}=a^{102}+b^{102}\)
\(\Rightarrow a^{102}-a^{101}+b^{102}-b^{101}=0\)
\(\Rightarrow a^{101}\left(a-1\right)+b^{101}\left(b-1\right)=0\)
\(\Rightarrow a\cdot a^{100}\left(a-1\right)+b\cdot b^{100}\left(b-1\right)=0\)
\(\Rightarrow a\cdot a^{100}\left(a-1\right)-b\cdot b^{100}\left(b-1\right)=0\)
\(\Rightarrow a\cdot a^{100}\left(a-1\right)-b\cdot a^{100}\left(a-1\right)=0\)(theo (2))
\(\Rightarrow a^{100}\left(a-1\right)\left(a-b\right)=0\)
\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}a-1=0\\a-b=0\end{cases}}\)(do a>0)
\(\Rightarrow a=b=1\)\(\Rightarrow P=1^{2007}+1^{2007}=2\)
2 tháng 10 2016
<br class="Apple-interchange-newline"><div id="inner-editor"></div>a≥1;b≤1
Ta có:
a100(a−1)+b100(b−1)=0
⇒a100(a−1)=b100(b−1)(2)
Lại có:
a101+b101=a102+b102
⇒a102−a101+b102−b101=0
<br class="Apple-interchange-newline"><div id="inner-editor"></div>⇒a100(a−1)+b100(b−1)=0(1)
- Nếu a và b cùng lớn hơn 1 thì: a-1 và b-1 đều dương nên:
a100(a−1)+b100(b−1)<0 không đúng với (1)
- Nếu a và b có 1 số lớn hơn hoặc bằng 1 và 1 số nhỏ hơn hoặc bằng 1
Không mất tính tổng quát, giả sử
<br class="Apple-interchange-newline"><div id="inner-editor"></div>⇒a100(a−1)=b100(b−1)(2)
Lại có:
a101+b101=a102+b102
⇒a102−a101+b102−b101=0
<br class="Apple-interchange-newline"><div id="inner-editor"></div>⇒a100(a−1)=b
AH
Akai Haruma
Giáo viên
7 tháng 10 2019
Bài 2:
\(a^{100}+b^{100}=a^{101}+b^{101}=a^{102}+b^{102}\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a^{100}(a-1)+b^{100}(b-1)=0(1)\\ a^{101}(a-1)+b^{101}(b-1)=0(2)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow a^{101}(a-1)-a^{100}(a-1)+b^{101}(b-1)-b^{100}(b-1)=0\) (lấy $(2)-(1)$)
\(\Leftrightarrow a^{100}(a-1)^2+b^{100}(b-1)^2=0\)
Dễ thấy \(a^{100}(a-1)^2\geq 0; b^{100}(b-1)^2\geq 0, \forall a,b\)
Do đó để tổng của chúng là $0$ thì \(a^{100}(a-1)^2=b^{100}(b-1)^2=0\)
Kết hợp với $a,b$ dương nên $a=b=1$
$\Rightarrow P=a^{2007}+b^{2007}=2$
AH
Akai Haruma
Giáo viên
7 tháng 10 2019
Bài 1:
Vì $a_i\in \left\{\pm 1\right\}$ nên $a_ia_j\in \left\{\pm 1\right\}$ với mọi $i,j=\overline{1,n}$. Khi đó:
Để tổng gồm $n$ số hạng $a_1a_2+a_2a_3+...+a_na_1=0$ thì $n$ phải chẵn và trong tổng trên có $\frac{n}{2}$ số hạng có giá trị $1$ và $\frac{n}{2}$ số hạng có giá trị $-1$
\(\Rightarrow a_1a_2.a_2a_3....a_na_1=(1)^{\frac{n}{2}}.(-1)^{\frac{n}{2}}=(-1)^{\frac{n}{2}}\)
\(\Leftrightarrow (a_1a_2...a_n)^2=(-1)^{\frac{n}{2}}\)
Vì $(a_1a_2...a_n)^2$ luôn không âm nên $(-1)^{\frac{n}{2}}$ không âm.
$\Rightarrow \forall n\in\mathbb{N}^*$ thì $\frac{n}{2}$ chẵn
$\Rightarrow n\vdots 4$
Mà $2006\not\vdots 4$ nên $n$ không thể là $2006$
TT
1
18 tháng 5 2020
\(x^2-x-1=0\)
Ta có \(\Delta=b^2-4ac=\left(-1\right)^2-4.1.\left(-1\right)=1+4=5>0\); \(\sqrt{\Delta}=\sqrt{5}\)
Phuông trình có 2 nghiệm phân biệt
\(a=x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\)
\(b=x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\)
Ta có \(a^{2007}+b^{2007}+a^{2009}+b^{2009}\)
\(\Leftrightarrow a^{2007}.\left(1+a^2\right)+b^{2007}.\left(1+b^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{2007}.\left(1+\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^2\right)+\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{2007}.\left(1+\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{2007}.\left(1+\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)+\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{2007}.\left(1+\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{2007}.\left(\frac{5+\sqrt{5}}{2}\right)+\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{2007}.\left(\frac{5-\sqrt{5}}{2}\right)\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{5}.\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{2008}+\sqrt{5}.\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{2008}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{5}.\left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{2008}+\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{2008}\right]⋮5\) (ĐPCM)
Nhớ k cho mình nhé
TT
0
TT
0
23 tháng 8 2018
Ta có : \(\left(a+\sqrt{a^2+2007}\right)\left(-a+\sqrt{a^2+2007}\right)=2007\)
\(\left(b+\sqrt{b^2+2007}\right)\left(-b+\sqrt{b^2+2007}\right)=2007\)
Nhân từng vế với nhau , ta có :
\(\left(a+\sqrt{a^2+2007}\right)\left(b+\sqrt{b^2+2007}\right)\left(-b+\sqrt{b^2+2007}\right)\left(-a+\sqrt{a^2+2007}\right)=2007\)
⇔ \(2007\left(-b+\sqrt{b^2+2007}\right)\left(-a+\sqrt{a^2+2007}\right)=2007^2\)
⇔ \(ab-b\sqrt{a^2+2007}-a\sqrt{b^2+2007}+\sqrt{\left(a^2+2007\right)\left(b^2+2007\right)}=2007\left(1\right)\)
Ta có : \(\left(a+\sqrt{a^2+2007}\right)\left(b+\sqrt{b^2+2007}\right)=2007\)
⇔ \(ab+a\sqrt{b^2+2007}+b\sqrt{a^2+2007}+\sqrt{\left(a^2+2007\right)\left(b^2+2007\right)}=2007\left(2\right)\)
Cộng từng vế của ( 1 ; 2 ) , ta có :
\(ab+\sqrt{\left(a^2+2007\right)\left(b^2+2007\right)}=2007\)
⇔ \(\sqrt{\left(a^2+2007\right)\left(b^2+2007\right)}=2007-ab\)
⇔ \(a^2b^2+2007a^2+2007b^2+2007^2=2007^2-2.2007ab+a^2b^2\)
⇔ \(2007a^2+2007b^2=-2.2007ab\)
⇔ \(a^2+2ab+b=0\)
⇔ \(\left(a+b\right)^2=0\)
⇔ \(S=a+b=0\)