Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a.
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC \(\Rightarrow\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\)
\(\Rightarrow T=\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|=\left|\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}\right|\)
\(=\left|3\overrightarrow{MG}\right|=3\left|\overrightarrow{MG}\right|\)
\(\Rightarrow T_{min}\) khi và chỉ khi \(MG_{min}\Rightarrow MG=0\) hay M trùng G
Theo công thức trọng tâm: \(\left\{{}\begin{matrix}x_M=\dfrac{2-1+6}{3}=\dfrac{7}{3}\\y_M=\dfrac{3-1+0}{3}=\dfrac{2}{3}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow M\left(\dfrac{7}{3};\dfrac{2}{3}\right)\)
b.
Tương tự câu a, ta có \(T=3\left|\overrightarrow{MG}\right|\) đạt min khi MG đạt min
\(\Rightarrow\) M là hình chiếu vuông góc của G lên Ox
Mà \(G\left(\dfrac{7}{3};\dfrac{2}{3}\right)\Rightarrow M\left(\dfrac{7}{3};0\right)\)
c.
Do M thuộc Ox nên tọa độ có dạng: \(M\left(m;0\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{MA}=\left(2-m;3\right)\\\overrightarrow{MB}=\left(-1-m;-1\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{u}=\left(3m+6;7\right)\)
\(\Rightarrow\left|\overrightarrow{u}\right|=\sqrt{\left(3m+6\right)^2+7^2}\ge\sqrt{0+7^2}=7\)
Dấu "=" xảy ra khi \(3m+6=0\Rightarrow m=-2\)
\(\Rightarrow M\left(-2;0\right)\)
a.
Do K thuộc d nên tọa độ có dạng: \(K\left(a;2-a\right)\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AK}=\left(a-3;-a-2\right)\\\overrightarrow{BK}=\left(a-2;1-a\right)\\\overrightarrow{CK}=\left(a+1;4-a\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AK^2=\left(a-3\right)^2+\left(-a-2\right)^2=2a^2-2a+13\\BK^2=\left(a-2\right)^2+\left(1-a\right)^2=2a^2-6a+5\\CK^2=\left(a+1\right)^2+\left(4-a\right)^2=2a^2-6a+17\end{matrix}\right.\)
\(T=AK^2-2BK^2-CK^2=2a^2-2a+13-2\left(2a^2-6a+5\right)-\left(2a^2-6a+17\right)\)
\(=-4a^2+16a-14=-4\left(a-2\right)^2+2\le2\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=2\Rightarrow K\left(2;0\right)\)
b. Điểm M là điểm nào nhỉ?
Gọi N là trung điểm AB
\(\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right|=\left|\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}\right|\)
\(\Leftrightarrow2\left|\overrightarrow{MN}\right|=\left|\overrightarrow{BA}\right|\)
\(\Leftrightarrow MN=\dfrac{a^2}{2}\)
\(\Rightarrow\Delta MAB\) vuông tại M
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\Rightarrow MH^2=HA.HB\le\dfrac{\left(HA+HB\right)^2}{4}=\dfrac{AB^2}{4}=\dfrac{a^2}{4}\)
\(\Rightarrow MH\le\dfrac{a}{2}\)
a, Phương trình đường thẳng song song với \(\Delta\) và đi qua \(M\left(1;\dfrac{1}{2}\right)\) là \(y=\dfrac{1}{2}\)
b, Phương trình đường thẳng vuông góc với \(\Delta\) và đi qua \(M\left(3;4\right)\) là \(x=3\)
c, Phương trình đường thẳng vuông góc với \(\Delta\) và đi qua \(M\left(-1;2\right)\) là \(y=2\)
Gọi điểm I thỏa mãn : \(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+3\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\), do ABC cố định nên điểm I là cố định
ta có :
\(\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC}\right|=\)\(\left|\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}+3\overrightarrow{MI}+3\overrightarrow{IC}\right|=\left|5\overrightarrow{MI}\right|=5MI\) nhỏ nhất khi M là hình chiếu của I lên đường thẳng d
d, Lấy P, Q sao cho \(4\overrightarrow{PA}-\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{0};2\overrightarrow{QA}-\overrightarrow{QB}-\overrightarrow{QC}=\overrightarrow{0}\)
Ta có \(\left|4\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|=\left|4\text{ }\overrightarrow{MP}+4\overrightarrow{PA}-\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}\right|=\left|4\overrightarrow{MP}\right|=4MP\)
\(\left|2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}\right|=\text{ }\left|2\overrightarrow{QA}-\overrightarrow{QB}-\overrightarrow{QC}\right|=0\)
\(\Rightarrow4MP=0\Rightarrow M\equiv P\)
Gọi G là trọng tâm tam giác, I là trung điểm BC, N là trung điểm của AC
a, Ta có \(\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|=\left|3\overrightarrow{MG}\right|=3MG\)
\(\frac{3}{2}\left|\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|=\frac{3}{2}\left|2\overrightarrow{MI}\right|=3MI\)
\(\Rightarrow MG=MI\Rightarrow M\) thuộc đường trung trực của BC
b, \(\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}\right|=\left|2\overrightarrow{MN}\right|=2MN\)
\(\left|\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}\right|=\left|\overrightarrow{BA}\right|=BA\)
\(\Rightarrow2MN=BA\Rightarrow M\in\left(N;\frac{BA}{2}\right)\)