Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(a_n=1+2+3+...+n=\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}\)
\(\Rightarrow a_{n+1}=1+2+3+...+n+\left(n+1\right)=\dfrac{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{2}\)
\(\Rightarrow a_n+a_{n+1}=\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}+\dfrac{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{2}\)
\(=\dfrac{\left(n+1\right)}{2}.\left(n+n+2\right)=\dfrac{\left(n+1\right)}{2}.\left(2n+2\right)\)
\(=\dfrac{\left(n+1\right)}{2}.2\left(n+1\right)=\left(n+1\right)^2\)
\(\Rightarrow dpcm\)
a) \(a_n+1=\left(1+2+3+...+n\right)+1=\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}+1\)
b) Ta có:
\(a_n+a_{n+1}=\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}+\dfrac{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{2}=\dfrac{n\left(n+1\right)+\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{2}=\dfrac{\left(n+1\right)\left(2n+2\right)}{2}=\left(n+1\right)^2\)
Vậy an + an + 1 là số chính phương
Lời giải:
Ta có công thức quen thuộc:
\(a_n=1+2+3+..+n=\frac{n(n+1)}{2}\)
\(a_{n+1}=1+2+3+...+n+(n+1)=\frac{(n+1)(n+2)}{2}\)
Do đó:
\(a_n+a_{n+1}=\frac{n(n+1)}{2}+\frac{(n+1)(n+2)}{2}=\frac{(n+1)(n+n+2)}{2}=(n+1)(n+1)=(n+1)^2\) là số chính phương với mọi số tự nhiên $n\geq 1$
Vậy $a_n+a_{n+1}$ là số chính phương.
Đây là toán 8 thật à :(((((
\(a_{n+2}-a_{n+1}=a_{n+1}-a_n+1\)
Đặt \(b_n=a_{n+1}-a_n\Rightarrow b_{n+1}=a_{n+2}-a_{n+1}\)
\(\Rightarrow b_{n+1}=a_{n+1}-a_n+1=b_n+1\)
Lại có \(b_1=a_{1+1}-a_1=a_2-a_1=2\)
\(\Rightarrow b_2=b_1+1\)
\(\Rightarrow b_3=b_2+1\)
...
\(\Rightarrow b_n=b_{n-1}+1\)
Cộng vế với vế:
\(b_2+b_3+...+b_{n-1}+b_n=b_1+b_2+...+b_{n-1}+1+1+...+1\) (n-1 số 1)
\(\Rightarrow b_n=b_1+1\left(n-1\right)=n+1\)
\(\Rightarrow a_{n+1}-a_n=n+1\)
Từ đó \(\Rightarrow a_{n+1}=a_n+n+1\)
\(\Rightarrow a_n=a_{n-1}+n\)
\(\Rightarrow a_{n-1}=a_{n-2}+n-1\)
...
\(\Rightarrow a_3=a_2+3\)
\(\Rightarrow a_2=a_1+2\)
Lại cộng vế với nhau:
\(a_{n+1}+a_n+...+a_3+a_2=a_n+a_{n-1}+...+a_2+a_1+\left(n+1\right)+n+...+2\)
\(\Rightarrow a_{n+1}=a_1+\left(n+1\right)+n+...+2\)
\(\Rightarrow a_{n+1}=\left(n+1\right)+n+...+2+1\)
\(\Rightarrow a_n=n+n-1+...+1=\frac{n\left(n+1\right)}{2}\)
\(\Rightarrow a_{n+2}=\frac{\left(n+2\right)\left(n+3\right)}{2}\)
\(\Rightarrow4a_{n+2}a_n+1=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)+1\)
\(=n\left(n+3\right)\left(n+1\right)\left(n+2\right)+1\)
\(=\left(n^2+3n\right)\left(n^2+3n+2\right)+1\)
\(=\left(n^2+3n\right)^2+2\left(n^2+3n\right)+1\)
\(=\left(n^2+3n+1\right)^2\) (đpcm)
Lời giải:
a) Công thức quen thuộc
\(a_n=1+2+3+...+n=\frac{n(n+1)}{2}\)
\(\Rightarrow a_n+1=\frac{n(n+1)}{2}+1\)
b) Ta có:
\(a_{n+1}=1+2+...+n+(n+1)=\frac{(n+1)(n+1+1)}{2}=\frac{(n+1)(n+2)}{2}\)
\(\Rightarrow a_n+a_{n+1}=\frac{n(n+1)}{2}+\frac{(n+1)(n+2)}{2}=\frac{(n+1)(n+n+2)}{2}=\frac{2(n+1)(n+1)}{2}=(n+1)^2\)
Vậy \(a_n+a_{n+1}\) là một số chính phương.