K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
TA
1
G
10 tháng 8 2023
\(x^3+y^3=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)\)
Chứng minh: \(VP=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)=x^3-x^2y+xy^2+x^2y-xy^2+y^3=x^3+y^3=VP\)
Áp dụng vào bài
--------------------------------------------------
Ta có \(a+b+c=0\Leftrightarrow-c=a+b\)
\(\Rightarrow c^2=\left(a+b\right)\left(a+b\right)=a^2+2ab+b^2\)
Xét \(a^3+b^3+a^2c+b^2c-abc\)
\(=a^3+b^3+c\left(a^2+b^2+2ab\right)-3abc\)
\(=a^3+b^3+c.c^2-3abc\)
\(=a^3+b^3+c^3-3abc\)
\(=a^3+a^2b+2a^2b+2ab^2+ab^2+b^3-3a^2b-3ab^2+c^3-3abc\)
\(=a^2\left(a+b\right)+2ab\left(a+b\right)+b^2\left(a+b\right)+c^3-3ab\left(a+b+c\right)\)
\(=\left(a+b\right)\left(a^2+2ab+b^2\right)+c^3\) ( do a+b+c=0 )
\(=\left(a+b\right)\left[a\left(a+b\right)+b\left(a+b\right)\right]+c^3\)
\(=\left(a+b\right)\left(a+b\right)\left(a+b\right)+c^3=\left(a+b\right)^3+c^3\)
( Áp dụng \(x^3+y^3=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)\) )
\(=\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b\right)^2-\left(a+b\right)c+c^2\right]=0\) ( do a+b+c=0 )
Vậy \(a^3+b^3+a^2c+b^2c-abc=0\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
6 tháng 1
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cô-si:
$a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}=3(1)$
Tiếp tục áp dụng BĐT Cô-si:
$a^3+a\geq 2a^2$
$b^3+b\geq 2b^2$
$c^3+c\geq 2c^2$
$\Rightarrow a^3+b^3+c^3\geq 2(a^2+b^2+c^2)-(a+b+c)$
Lại có:
$a^2+1\geq 2a$
$b^2+1\geq 2b$
$c^2+1\geq 2c$
$\Rightarrow a^2+b^2+c^2\geq 2(a+b+c)-3=(a+b+c)+(a+b+c)-3$
$\geq a+b+c+3-3=a+b+c(2)$
$\Rightarrow a^3+b^3+c^3\geq 2(a^2+b^2+c^2)-(a+b+c)\geq a^2+b^2+c^2(3)$
Từ $(1); (2); (3)$ ta có đpcm.
NG
4
S
19 tháng 6 2018
Ta có: (a+b+c)2=a2+b2+c2
<=>a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=a2+b2+c2
<=>ab+bc+ca=0
<=>\(\frac{ab+bc+ca}{abc}=0\)
<=>\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\)
<=> \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=-\frac{1}{c}\) (1)
<=> \(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)^3=\left(-\frac{1}{c}\right)^3\)
<=>\(\frac{1}{a^3}+\frac{3}{a^2b}+\frac{3}{ab^2}+\frac{1}{b^3}=-\frac{1}{c^3}\)
<=>\(\frac{1}{a^3}+\frac{3}{ab}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)+\frac{1}{b^3}=-\frac{1}{c^3}\) (2)
Thay (1) vào (2) ta đc:
\(\frac{1}{a^3}-\frac{3}{abc}+\frac{1}{b^3}=-\frac{1}{c^3}\)
<=>\(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}=\frac{3}{abc}\left(đpcm\right)\)
19 tháng 6 2018
toán lớp 7 có cái này hả??
Ta có:\((a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2\)
<=>\(a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc=a^2+b^2+c^2\)
<=>\(ab+ac+bc=0\)
Phân tích ngược từ chứng minh. Lưu ý: cách này chỉ trình bày ngoài nháp rồi mới trình bày từ duới lên
Nếu \({1\over a^3} + {1\over b^3} +{1\over c^3}={3\over abc}\)
Nhân với abc cả hai vế
\({abc\over a^3} + {abc\over b^3} +{abc\over c^3}=3\)
<=>\({bc\over a^2} + {ac\over b^2} +{ab\over c^2}=3\)
mà ab+ac+bc=0
=>\({-(ac+ab)\over a^2} + {-(bc+ba)\over b^2} +{-(ac+bc)\over c^2}=3\)
<=>\({-a(c+b)\over a^2} + {-b(c+a)\over b^2} +{-c(a+b)\over c^2}-3=0\)
<=>\({c+b\over a} + {c+a\over b} +{a+b\over c}+3=0\)
<=>\({c+b\over a} +1+ {c+a\over b} +1+{a+b\over c}+1=0\)
<=>\({c+b+a\over a} ++ {c+a+b\over b} +{a+b+c\over c}=0\)
<=>\((a+b+c)({1\over a}+{1\over b}+{1\over c})=0\)
tới đây không phải là ta có được 2 vế trên =0 . Mà phải chứng minh 1 trong 2 vế trên bằng 0
Ta có \(ab+ac+bc=0\)(1)
mà a,b,c khác 0 theo đề bài nên ta có quyền chia abc cho vế (1)
=>\({ab\over abc}+{cb\over abc}+{ac\over abc}=0\)
=>\({1\over a}+ {1\over b}+ {1\over c}=0\)
Vậy từ dữ kiện ta có thể suy ngược lại tất cả nãy giờ ta chúng minh được
TD
2
7 tháng 5 2015
bạn chép lại đề nha
=a3+a^2c+a^2b-a^2b-abc+b^2c+b^3+b^2a-b^2a
=a^2(a+b+c)-a^2b-abc+b^2(a+b+c)-b^2a
= -a^2b-abc-b^2a
= -ab(a+b+c)=-ab 0 =0
vậy đa thức này bằng 0
5 tháng 3 2017
(a + b + c)[(a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2] = 0
=> a + b + c = 0
Hoặc (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 = 0
Mặt khác : (a - b)2 \(\ge\)0
(b - c)2 \(\ge\)0
(c - a)2 \(\ge\)0
=> (a - b)2 = 0 => a - b = 0 => a = b
(b - c)2 = 0 b - c = 0 b = c
(c - a)2 = 0 c - a = 0 c = a
=> a = b = c
Ta có :
\(B=\left(1+\frac{a}{b}\right).\left(1+\frac{b}{c}\right).\left(1+\frac{c}{a}\right)\)
\(B=\frac{a+b}{b}.\frac{b+c}{c}.\frac{c+a}{a}\) (quy đồng cho các hạng tử cùng mẫu rồi cộng)
\(B=\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{bca}\)
Mà a = b = c
Thay vào , ta lại có :
\(B=\frac{\left(a+a\right)\left(a+a\right)\left(a+a\right)}{a^3}=\frac{2a.2a.2a}{a^3}=\frac{8.a^3}{a^3}=8\)
=> B = 8
17 tháng 5 2021
1)Từ đề bài:
`=>a^2+4b+4+b^2+4c+4+c^2+4a+4=0`
`<=>(a+2)^2+(b+2)^2+(c+2)^2=0`
`<=>a=b=c-2`
17 tháng 5 2021
`ab+bc+ca=abc`
`<=>1/a+1/b+1/c=1`
`<=>(1/a+1/b+1/c)^2=1`
`<=>1/a^2+1/b^2+1/c^2+2/(ab)+2/(bc)+2/(ca)=1`
`<=>1/a^2+1/b^2+1/c^2=1-(2/(ab)+2/(bc)+2/(ca))`
`a+b+c=0`
Chia 2 vế cho `abc`
`=>1/(ab)+1/(bc)+1/(ca)=0`
`=>2/(ab)+2/(bc)+2/(ca)=0`
`=>1/a^2+1/b^2+1/c^2=1-0=1`
19 tháng 2 2020
\(\text{Ta có:
}a^2\left(b+c\right)-b^2\left(a+c\right)=2020\)
\(\Leftrightarrow a^2b+a^2c-b^2a-b^2c=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2b-b^2a\right)+\left(a^2c-b^2c\right)=0\)
\(\Leftrightarrow ab\left(a-b\right)+c\left(a^2-b^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow ab\left(a-b\right)+c\left(a+b\right)\left(a-b\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left[ab+c\left(a+b\right)\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(ab+ac+bc\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a-b=0\\ab+ac+bc=0\end{cases}}\)
\(\text{Xét phần }ab+ac+bc=0,\text{ta có}\)
\(ab+ac=-bc\)
\(\Leftrightarrow a\left(b+c\right)=-bc\)
\(\Leftrightarrow a^2\left(b+c\right)=-abc\)
\(\Leftrightarrow2020=-abc\)
\(\Leftrightarrow abc=-2020\)
\(\text{Lại có: }ac+bc=-ab\)
\(\Leftrightarrow c\left(a+b\right)=-ab\)
\(\Leftrightarrow c^2\left(a+b\right)=-abc\)
\(\Leftrightarrow A=2020\)