Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Giả sử a < b < c thì a \(\ge\)2 ; b \(\ge\)3 ; c \(\ge\)5.
Ta có :
\(\frac{1}{\left[a,b\right]}=\frac{1}{ab}\le\frac{1}{6},\frac{1}{\left[b,c\right]}=\frac{1}{bc}\le\frac{1}{15},\frac{1}{\left[c,a\right]}=\frac{1}{ca}\le\frac{1}{10}\)
suy ra vế trái nhỏ hơn hoặc bằng :
\(\frac{1}{6}+\frac{1}{15}+\frac{1}{10}=\frac{1}{3}\text{ ( đpcm )}\)
a: Gọi phân số cần tìm có dạng là \(\dfrac{a}{b}\left(b\ne0\right)\)
Theo đề, ta có: \(\dfrac{1}{3}< \dfrac{a}{b}< \dfrac{1}{2}\)
=>\(0,\left(3\right)< \dfrac{a}{b}< 0,5\)
=>\(\dfrac{a}{b}=0,4;\dfrac{a}{b}=0,42\)
=>\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{2}{5};\dfrac{a}{b}=\dfrac{21}{25}\)
Vậy: Hai phân số cần tìm là \(\dfrac{2}{5};\dfrac{21}{25}\)
b: a/b<1
=>a<b
=>\(a\cdot c< b\cdot c\)
=>\(a\cdot c+ab< b\cdot c+ab\)
=>\(a\left(c+b\right)< b\left(a+c\right)\)
=>\(\dfrac{a}{b}< \dfrac{a+c}{b+c}\)
giả sử a<b<c thì a> hoặc bằng 2 , b> hoặc bằng 3 , c> hoặc bằng 5 ta có:
1/[a,b]=1/ab<hoặc=1/6 , 1/[b,c] = 1/bc < hoặc = 1/15 , 1/[c,a]=1/ca < hoặc =1/10
suy ra vế trái nhỏ hơn hoặc bằng :
1/6+1/15+1/10=1/3
[a;b]=ab
[b;c]=bc
[c;a]=ca
\(\Rightarrow\frac{1}{\left[a;b\right]}+\frac{1}{\left[b;c\right]}+\frac{1}{\left[c;a\right]}=\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\le\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.5}+\frac{1}{5.2}=\frac{1}{6}+\frac{1}{15}+\frac{1}{10}=\frac{1}{3}\)
=>đpcm
Có :
[a,b]=a.b
[b,c]=b.c
[a,c]=c.a
Không mất tính tổng quát, ta giả sử a<b<c
\(\Rightarrow a\ge2;b\ge3;c\ge5\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\left[a,b\right]}+\frac{1}{\left[b,c\right]}+\frac{1}{\left[c,a\right]}\le\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.5}+\frac{1}{2.5}=\frac{1}{6}+\frac{1}{15}+\frac{1}{10}=\frac{1}{3}\)
(dpcm)
a, b, c là ba số nguyên tố khác nhau.
Ta có [a, b]= a.b, [b, c]= b.c, [c.a]= c.a
Do đó \(\dfrac{1}{\left[a,b\right]}+\dfrac{1}{\left[b,c\right]}+\dfrac{1}{[c,a]}=\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}\)
Ta có: \(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}\le\dfrac{1}{2.3}+\dfrac{1}{3.5}+\dfrac{1}{5.2}\)
mả \(\dfrac{1}{2.3}+\dfrac{1}{3.5}+\dfrac{1}{5.2}=\dfrac{5+2+3}{30}=\dfrac{1}{3}\).
Do đó \(\dfrac{1}{\left[a,b\right]}+\dfrac{1}{\left[b,c\right]}+\dfrac{1}{\left[c,a\right]}\le\dfrac{1}{3}\).
a) Gọi d là ƯCLN(n + 1; n + 2)
\(\Rightarrow n+1⋮d\)
\(n+2⋮d\)
\(\Rightarrow\left[\left(n+2\right)-\left(n+1\right)\right]⋮d\)
\(\Rightarrow\left(n+2-n-1\right)⋮d\)
\(\Rightarrow1⋮d\)
\(\Rightarrow d=1\)
Vậy \(\dfrac{n+1}{n+2}\) là phân số tối giản
b) Gọi d là ƯCLN(n + 1; 3n + 4)
\(\Rightarrow n+1⋮d\) và \(3n+4⋮d\)
Do \(n+1⋮d\Rightarrow3n+3⋮d\)
\(\Rightarrow\left[\left(3n+4\right)-\left(3n+3\right)\right]⋮d\)
\(\Rightarrow\left(3n+4-3n-3\right)⋮d\)
\(\Rightarrow1⋮d\)
\(\Rightarrow d=1\)
Vậy \(\dfrac{n+1}{3n+4}\) là phân số tối giản
c) Gọi d là ƯCLN(3n + 2; 5n + 3)
\(\Rightarrow3n+2⋮d\) và \(5n+3⋮d\)
Do \(3n+2⋮d\)
\(\Rightarrow5\left(3n+2\right)⋮d\)
\(\Rightarrow15n+10⋮d\) (1)
Do \(5n+3⋮d\)
\(\Rightarrow3\left(5n+3\right)⋮d\)
\(\Rightarrow15n+9⋮d\) (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\left[\left(15n+10\right)-\left(15n+9\right)\right]⋮d\)
\(\Rightarrow\left(15n+10-15n-9\right)⋮d\)
\(\Rightarrow1⋮d\)
\(\Rightarrow d=1\)
Vậy \(\dfrac{3n+2}{5n+3}\) là phân số tối giản
d) Gọi d là ƯCLN(12n + 1; 30n + 2)
\(\Rightarrow12n+1⋮d\) và \(30n+2⋮d\)
Do \(12n+1⋮d\)
\(\Rightarrow5\left(12n+1\right)⋮d\)
\(\Rightarrow60n+5⋮d\) (3)
Do \(30n+2⋮d\)
\(\Rightarrow2\left(30n+2\right)⋮d\)
\(\Rightarrow60n+4⋮2\) (4)
Từ (3 và (4) \(\Rightarrow\left[\left(60n+5\right)-\left(60n+4\right)\right]⋮d\)
\(\Rightarrow\left(60n+5-60n-4\right)⋮d\)
\(\Rightarrow1⋮d\)
\(\Rightarrow d=1\)
Vậy \(\dfrac{12n+1}{30n+2}\) là phân số tối giản
a: Gọi d=ƯCLN(n+1;n+2)
=>n+2-n-1 chia hết cho d
=>1 chia hết cho d
=>d=1
=>PSTG
b: Gọi d=ƯCLN(3n+4;n+1)
=>3n+4-3n-3 chia hết cho d
=>1 chia hết cho d
=>d=1
=>PSTG
c: Gọi d=ƯCLN(3n+2;5n+3)
=>15n+10-15n-9 chia hết cho d
=>1 chia hết cho d
=>d=1
=>PSTG
d: Gọi d=ƯCLN(12n+1;30n+2)
=>60n+5-60n-4 chia hết cho d
=>1 chia hết cho d
=>d=1
=>PSTG
sao lúc nào cũng lên hỏi
Vai trò a,b,c như nhau giả sử a < b < c
Mà a, b, c là các số nguyên tố khác nhau đôi một
=> \(a\ge2\), \(b\ge3\), \(c\ge5\)
=> \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{\left[a,b\right]}=\dfrac{1}{ab}\le\dfrac{1}{2.3}\le\dfrac{1}{6}\\\dfrac{1}{\left[b,c\right]}=\dfrac{1}{bc}\le\dfrac{1}{3.5}\le\dfrac{1}{15}\\\dfrac{1}{\left[c,a\right]}=\dfrac{1}{ac}\le\dfrac{1}{2.5}\le\dfrac{1}{10}\end{matrix}\right.\)
=> \(\dfrac{1}{\left[a,b\right]}+\dfrac{1}{\left[b,c\right]}+\dfrac{1}{\left[c,a\right]}\le\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{15}+\dfrac{1}{10}\)
=> \(\dfrac{1}{\left[a,b\right]}+\dfrac{1}{\left[b,c\right]}+\dfrac{1}{\left[c,a\right]}\le\dfrac{1}{3}\)
=> đpcm