K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

14 tháng 4 2017

Ta sẽ dùng phép biến đổi tương đương nhé :

\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\)(1)

\(\Leftrightarrow\dfrac{b+a}{ab}\ge\dfrac{4}{a+b}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(a+b\right)\left(b+a\right)}{ab\left(a+b\right)}\ge\dfrac{4ab}{ab\left(a+b\right)}\)

Vì a,b là các số dương =) ab(a+b) > 0

\(\Rightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)

\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\ge4ab\)

\(\Leftrightarrow a^2+2ab-4ab+b^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0 \)(luôn đúng) (2)

BĐT (2) luôn đúng mà các phép biến đổi trên là tương đương suy ra BĐT (1) đúng

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b

14 tháng 4 2017

\(\\\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\\\)

Dùng Cauchy_Schwarz

19 tháng 5 2021

ta có \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}< =>\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\left(a+b\right)\ge4\)

<=>\(1+\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}+1\ge4\)

Thật vậy:

áp dụng bdt Cô si 

=>\(1+\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}+1=2+\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{a}}+2=4\)

vậy bất đăng thức xảy ra

dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)a=b 

30 tháng 4 2018

AM-GM: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{a^2}{b}+b\ge2a\\\dfrac{b^2}{c}+c\ge2b\\\dfrac{c^2}{a}+a\ge2c\end{matrix}\right.\) Cộng theo vế suy ra đpcm. Dấu "=" khi \(a=b=c\)

1 tháng 5 2018

thank nha

25 tháng 3 2018

1) xét hiệu

\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}-\dfrac{4}{a+b}\ge0\)

<=> \(\dfrac{b\left(a+b\right)}{ab\left(a+b\right)}+\dfrac{a\left(a+b\right)}{ab\left(a+b\right)}-\dfrac{4ab}{ab\left(a+b\right)}\ge0\)

=> b(a+b)+a(a+b)-4ab ≥ 0

<=> ab+b2+a2+ab-4ab ≥ 0

<=> a2 -2ab+b2 ≥ 0

<=> (a-b)2 ≥ 0 (luôn đúng )

=> đpcm

25 tháng 3 2018

2)Ta có:\(\left(a-b\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)

\(\Rightarrow a^2+2ab+b^2-4ab\ge0\)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)

TT\(\Rightarrow\left(b+c\right)^2\ge4bc;\left(c+a\right)^2\ge4ca\)

\(\Rightarrow\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\right]^2\ge64a^2b^2c^2\)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\)

11 tháng 4 2021

Nhân 2 vế cho ab(a+b) dương ta có:

`(a+b)^2>=4ab`

`<=>(a-b)^2>=0` luôn đúng

Dấu "=" `<=>a=b`

22 tháng 6 2018

\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{b\left(a+b\right)}{ab\left(a+b\right)}+\dfrac{a\left(a+b\right)}{ab\left(a+b\right)}\ge\dfrac{4ab}{ab\left(a+b\right)}\)
\(a,b>0\Rightarrow ab>0;a+b>0\)
\(\Leftrightarrow b\left(a+b\right)+a\left(a+b\right)\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow ab+b^2+a^2+ab\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2-4ab\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)
Bất đằng thức này đúng \(\forall a,b>0\).
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b\).

NV
23 tháng 1 2021

Biến đổi tương đương:

\(\Leftrightarrow\dfrac{a+b}{ab}\ge\dfrac{4}{a+b}\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+2ab\ge4ab\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2-2ab\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Vậy BĐT đã cho đúng

25 tháng 3 2017

2a)

Áp dụng bất đẳng thức \(\dfrac{1}{a+b}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\forall a,b>0\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{2a+b+c}=\dfrac{1}{a+b+a+c}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{a+c}\right)\\\dfrac{1}{a+2b+c}=\dfrac{1}{a+b+b+c}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}\right)\\\dfrac{1}{a+b+2c}=\dfrac{1}{a+c+b+c}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a+c}+\dfrac{1}{b+c}\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow VT\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{a+c}\right)+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+b}\right)+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a+c}+\dfrac{1}{b+c}\right)\)

\(\Rightarrow VT\le\dfrac{1}{4\left(a+b\right)}+\dfrac{1}{4\left(a+c\right)}+\dfrac{1}{4\left(b+c\right)}+\dfrac{1}{4\left(a+b\right)}+\dfrac{1}{4\left(a+c\right)}+\dfrac{1}{4\left(b+c\right)}\)

\(\Rightarrow VT\le\dfrac{1}{2\left(a+b\right)}+\dfrac{1}{2\left(b+c\right)}+\dfrac{1}{2\left(c+a\right)}\)

Chứng minh rằng \(\dfrac{1}{2\left(a+b\right)}+\dfrac{1}{2\left(b+c\right)}+\dfrac{1}{2\left(c+a\right)}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\)

Áp dụng bất đẳng thức \(\dfrac{1}{a+b}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\forall a,b>0\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{a+b}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\\\dfrac{1}{b+c}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\\\dfrac{1}{c+a}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{2}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{2}{c}\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\) ( đpcm )

\(\dfrac{1}{2\left(a+b\right)}+\dfrac{1}{2\left(b+c\right)}+\dfrac{1}{2\left(c+a\right)}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\)

\(VT\le\dfrac{1}{2\left(a+b\right)}+\dfrac{1}{2\left(b+c\right)}+\dfrac{1}{2\left(c+a\right)}\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{2a+b+c}+\dfrac{1}{a+2b+c}+\dfrac{1}{a+b+2c}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\)( đpcm )

Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c\)

2b)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}1+a^2\ge2\sqrt{a^2}=2a\\1+b^2\ge2\sqrt{b^2}=2b\\1+c^2\ge2\sqrt{c^2}=2c\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{a}{1+a^2}\le\dfrac{a}{2a}=\dfrac{1}{2}\\\dfrac{b}{1+b^2}\le\dfrac{b}{2b}=\dfrac{1}{2}\\\dfrac{c}{1+c^2}\le\dfrac{c}{2c}=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\dfrac{a}{1+a^2}+\dfrac{b}{1+b^2}+\dfrac{c}{1+c^2}\le\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}\) ( đpcm )

Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c=1\)

24 tháng 3 2017

Bài 1)

Nháp : nhìn nhanh ta thấy nên áp dụng BĐT \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\)

Giải

Vì x,y > 0 =) 2x + y > 0 , x + 2y > 0

Áp dụng BĐT cauchy dạng phân thức cho hai bộ số không âm \(\dfrac{1}{2x+y}\)\(\dfrac{1}{x+2y}\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{x+2y}+\dfrac{1}{2x+y}\ge\dfrac{4}{x+2y+2x+y}=\dfrac{4}{3\left(x+y\right)}\)

\(\Rightarrow\left(3x+3y\right)\left(\dfrac{1}{2x+y}+\dfrac{1}{x+2y}\right)\ge\left(3x+3y\right).\dfrac{4}{3\left(x+y\right)}=4\)

Dấu '' = "xảy ra khi và chỉ khi x + 2y = y + 2x (=) x=y

5 tháng 7 2018

áp dụng bất đằng thức buinhia

\(\left(a+b\right)^2\le2\left(a^2+b^2\right)\Leftrightarrow1\le2\left(a^2+b^2\right)\Rightarrow a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\)

\(\left(a^2+b^2\right)^2\le\left(\left(a^2\right)^2+\left(b^2\right)^2\right)2\Leftrightarrow\left(\frac{1}{2}\right)^2\le2\left(a^4+b^4\right)\Rightarrow a^4+b^4\ge\frac{1}{8}\)

bài cuối tương tự

5 tháng 7 2018

a, \(a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\)

Với mọi a, b ta có:

\(\left(a-b\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)

\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge a^2+2ab+b^2\)

\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)

Mà a + b = 1 \(\Rightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge1\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\)

Vậy \(a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\)( đpcm )

Các câu b, c tương tự

5 tháng 7 2018

Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz:

\(a^2+b^2\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2}=\dfrac{1}{2}\)

\(a^4+b^4\ge\dfrac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2}\ge\dfrac{\left(\dfrac{1}{2}\right)^2}{2}=\dfrac{1}{8}\)

\(a^8+b^8\ge\dfrac{\left(a^4+b^4\right)^2}{2}\ge\dfrac{\left(\dfrac{1}{8}\right)^2}{2}=\dfrac{1}{128}\)