Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(a,b,c\) là 3 cạnh của tam giác
Theo BĐT tam giác ta có:
\(\hept{\begin{cases}a< b+c\\b< c+a\\c< a+b\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\) \(\hept{\begin{cases}a^2< a\left(b+c\right)=ab+ac\left(1\right)\\b^2< b\left(c+a\right)=bc+ab\left(2\right)\\c^2< c\left(a+b\right)=ac+bc\left(3\right)\end{cases}}\)
Cộng theo vế (1), (2), (3) ta có:
\(a^2+b^2+c^2< 2\left(ab+bc+ca\right)\) (đpcm)
Ta có a > /b - c/ ; b > /a - c/ ; c> /a - b/
=> a2 > b2 + c2 - 2bc
b2 > a2 + c2 - 2ac
c2 > a2 + b2 - 2ab
Suy ra a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca)
Vì a,b,c là độ dài 3 cạnh 1 tam giác nên:
\(a< b+c\Rightarrow a^2< ab+ac\)
Tương tự:
\(b^2< ab+bc;c^2< ac+bc\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2< 2\left(ab+bc+ac\right)\left(đpcm\right)\)
\(\left(a^2+b^2-c^2\right)^2-4a^2b^2\)
\(=\left(a^2+b^2-c^2\right)^2-\left(2ab\right)^2\)
\(=\left[a^2+b^2-c^2-2ab\right]\left[a^2+b^2-c^2+2ab\right]\)
\(=\left[\left(a-b\right)^2-c^2\right]\left[\left(a+b\right)^2-c^2\right]\)
\(=\left(a-b-c\right)\left(a-b+c\right)\left(a+b+c\right)\left(a+b-c\right)\)
Vì a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác nên theo bất đẳng thức tam giác, ta suy ra:
\(a-b-c< 0,a-b+c>0,a+b-c>0\)
Mặt khác \(a,b,c>0\Rightarrow a+b+c>0\)
\(\Rightarrow\left(a^2+b^2-c^2\right)^2-4a^2b^2=\left(a-b-c\right)\left(a-b+c\right)\left(a+b+c\right)\left(a+b-c\right)< 0\)
\(VT=\left(a^2+b^2-c^2\right)^2-4a^2b^2\)
\(VT=\left(a^2+b^2-c^2-2ab\right)\left(a^2+b^2-c^2+2ab\right)\)
\(VT=\left[\left(a-b\right)^2-c^2\right].\left[\left(a+b\right)^2-c^2\right]\)
\(VT=\left(a-b-c\right)\left(a-b+c\right)\left(a+b-c\right)\left(a+b+c\right)\)
Theo bđt tam giác ta có :
\(a-b< c\)\(\Leftrightarrow\)\(a-b-c< 0\) \(\left(1\right)\)
\(a+b>c\)\(\Leftrightarrow\)\(a+b-c>0\) \(\left(2\right)\)
\(a+c>b\)\(\Leftrightarrow\)\(a-b+c>0\) \(\left(3\right)\)
\(a+b+c>0\) ( vì độ dài không có âm ) \(\left(4\right)\)
Từ (1), (2), (3) và (4) suy ra \(VT< 0\) ( vì tích gồm 1 số âm và 3 số dương )
Vậy với a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác ta có \(\left(a^2+b^2-c^2\right)^2-4a^2b^2< 0\)
Chúc bạn học tốt ~
Áp dụng bất đẳng thức tam giác ta có :
(1) a < b + c => a2 < ab + ac
(2) b < a + c => b2 < ab + bc
(3) c < a + b => c2 < ac + bc
Từ (1) , (2) và (3) => a2 + b2 + c2 < ab + ac + ab + bc + ac + bc = 2(ab + bc + ac) (đpcm)
Ta có; \(a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)=2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2=2ab+2bc+2ca\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)
Mà \(\left(a-b\right)^2\ge0;\left(b-c\right)^2\ge0;\left(c-a\right)^2\ge0\Rightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a-b=0\\b-c=0\\c-a=0\end{cases}\Leftrightarrow a=b=c}\)
Vậy...
Vì a; b; c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác nên ta có : \(a+b>c;a+c>b;b+c>a\)
\(\Rightarrow c\left(a+b\right)>c.c\Rightarrow ac+bc>c^2\)
\(\Rightarrow b\left(a+c\right)>b.b\Rightarrow ab+bc>b^2\)
\(\Rightarrow a\left(b+c\right)>a.a\Rightarrow ab+ac>a^2\)
Cộng vế với vế ta được :
\(\left(ac+bc\right)+\left(ab+bc\right)+\left(ab+ac\right)>a^2+b^2+c^2\)
\(\Rightarrow2\left(ab+bc+ac\right)>a^2+b^2+c^2\) (đpcm)
Nhân 2 vế với a>0 ta có
ab+ac>a^2 (1)
bc+ba>b^2 (2)
ac+cb>c^2 (3)
Cộng hai vế của (1) , (2) , (3) ta được 2(ab+bc+ca)>a^2+b^2+c^2 ( đpcm)