K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

NV
22 tháng 2 2021

Đặt \(P=a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca\)

\(P=\dfrac{1}{2}\left(a+b+c\right)^2+\dfrac{1}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

\(P\ge\dfrac{1}{2}\left(a+b+c\right)^2+\dfrac{1}{6}\left(a+b+c\right)^2=6\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)

29 tháng 6 2021

12632t54s jsd

25 tháng 8 2023

Cần gấp ko bạn

Nếu gấp thì sang web khác thử

NV
8 tháng 5 2023

Trước hết, với \(a+b+c=1\) ta có:

\(a^2+b^2+c^2=\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a+b+c\right)\)

\(=\left(a^3+ab^2\right)+\left(b^3+bc^2\right)+\left(c^3+ca^2\right)+a^2b+b^2c+c^2a\)

\(\ge2a^2b+2b^2c+2c^2a+a^2b+b^2c+c^2a\)

Hay \(a^2+b^2+c^2\ge3\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\)

Từ đó:

\(\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}=\dfrac{a^4}{a^2b}+\dfrac{b^4}{b^2c}+\dfrac{c^4}{c^2a}\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^2b+b^2c+c^2a}\)

\(\ge\dfrac{3\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)}{a^2b+b^2c+c^2a}=3\left(a^2+b^2+c^2\right)\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)

8 tháng 5 2023

em cảm ơn thầy nhiều ạ !

 

 

6 tháng 2 2022

Refer:

a² + b² + c² + d² + e² ≥ a(b + c + d + e)

Ta có: a² + b² + c² + d² + e²= (a²/4 + b²) + (a²/4 + c²) + (a²/4 + d²) + (a²/4 + e²)

Lại có: (a/2 - b)² ≥ 0 <=> a²/4 - ab + b² ≥ 0 <=> a²/4 + b² ≥ ab

Tương tự ta có:. a²/4 + c² ≥ ac.

a²/4 + d² ≥ ad.

a²/4 + e² ≥ ae

--> (a²/4 + b²) + (a²/4 + c²) + (a²/4 + d²) + (a²/4 + e²) ≥ ab + ac + ad + ae

<=> a² + b² + c² + d² + e² ≥ a(b + c + d + e)

=> đpcm.

Dấu " = " xảy ra <=> a/2 = b = c = d = e.

2 tháng 3 2022

 mik chưa hiểu dòng thứ 2 bạn giải thích rõ hơn được ko

 

11 tháng 7 2023

\(a^2+b^2+c^2+d^2+1=a\left(b+c+d+1\right)\)

\(\Leftrightarrow4a^2+4b^2+4c^2+4d^2+4=4ab+4ac+4ad+4a\)

\(\Leftrightarrow a^2-4ab+4b^2+a^2-4ac+4c^2+a^2-4ad+4d^2+a^2-4a+4=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-2b\right)^2+\left(a-2c\right)^2+\left(a-2d\right)^2+\left(a-2\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=2b\\a=2c\\a=2d\\a=2\end{matrix}\right.\) 

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=c=d=1\end{matrix}\right.\).

Vậy \(\left(a,b,c,d\right)=\left(2,1,1,1\right)\)

6 tháng 8 2020

Áp dụng bất đẳng thức Cosi, ta có:

\(\left(a^2+b+c\right)\left(1+b+c\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)Do đó, để chứng minh bất đẳng thức đã cho, ta chỉ cần chứng minh rằng:

\(\frac{a\sqrt{1+b+c}+b\sqrt{1+c+a}+c\sqrt{1+a+b}}{a+b+c}\le\sqrt{3}\)

Áp dụng bất đẳng thức Côsi lần thứ hai ta nhận được:

\(VT=\frac{\sqrt{a}\sqrt{a\left(1+b+c\right)}+\sqrt{b}\sqrt{b\left(1+c+a\right)}+\sqrt{c}\sqrt{c\left(1+a+b\right)}}{a+b+c}\)

\(\le\frac{\sqrt{\left(a+b+c\right)\left[a\left(1+b+c\right)+b\left(1+c+a\right)+c\left(1+a+b\right)\right]}}{a+b+c}\)

\(=\sqrt{1+\frac{2\left(ab+bc+ca\right)}{a+b+c}}\)

\(\le\sqrt{1+\frac{2\left(a+b+c\right)}{3}}\)

\(\le\sqrt{1+\frac{2\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}}{3}}=\sqrt{3}\left(đpcm\right)\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.

6 tháng 8 2020

sửa đề thành \(a^2+b^2+c^2=3\) nhé

NV
2 tháng 4 2023

BĐT cần chứng minh tương đương:

\(a^2+b^2+c^2\ge2ab-2bc+2ca\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2bc-2a\left(b+c\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2+\left(b+c\right)^2-2a\left(b+c\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b-c\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Vậy BĐT đã cho đúng