K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

8 tháng 5 2018

Bài này đăng nhiều rồi bạn vào câu hỏi tương tự tìm

8 tháng 5 2018

Sử dụng kĩ thuật Cauchy ngược dấu

Ta có: \(\frac{a+1}{b^2+1}=\frac{ab^2+a+b^2+1-ab^2-b^2}{b^2+1}=a+1-\frac{b^2\left(a+1\right)}{b^2+1}\ge a+1-\frac{b^2\left(a+1\right)}{2b}=a+1-\frac{b\left(a+1\right)}{2}\) 

Tương tự \(\frac{b+1}{c^2+1}\ge b+1-\frac{c\left(b+1\right)}{2}\)

               \(\frac{c+1}{a^2+1}\ge c+1-\frac{a\left(c+1\right)}{2}\) 

\(\Rightarrow VT\ge3-\frac{a+b+c-ab-bc-ca}{2}\ge3\)

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1

27 tháng 7 2017

Ta có

\(\frac{a+1}{b^2+1}=\left(a+1\right)-\frac{ab^2+b^2}{b^2+1}\ge\left(a+1\right)-\frac{ab^2+b^2}{2b}=\left(a+1\right)-\frac{ab+b}{2}\)   (1)

Tương tự  \(\frac{b+1}{c^2+1}\ge\left(b+1\right)-\frac{bc+c}{2}\)   (2)

và  \(\frac{c+1}{a^2+1}\ge\left(a+1\right)-\frac{ca+a}{2}\)   (3)

Cộng (1), (2), (3) vế theo vế:

\(VT\ge\left(a+b+c+3\right)-\frac{\left(ab+bc+ca\right)+\left(a+b+c\right)}{2}\ge6-\frac{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}+3}{2}=3\)

Đẳng thức xảy ra  \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)

14 tháng 8 2018

ĐÂY ĐÂU PHẢI TOÁN LỚP 9 HẢ BẠN...

30 tháng 12 2019

\(\frac{a+1}{b^2+1}=\frac{\left(a+1\right)\left(b^2+1\right)-b^2\left(a+1\right)}{b^2+1}=a+1-\frac{b^2\left(a+1\right)}{b^2+1}\)

\(\ge a+1-\frac{b^2\left(a+1\right)}{2b}=a+1-\frac{ab+a}{2}\)

Thiết lập các bất đẳng thức tương tự rồi cộng lại ta được:

\(LHS\ge a+b+c+3-\frac{ab+bc+ca+3}{2}\ge6-\frac{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}+3}{2}=3=RHS\)

2 tháng 10 2018

Đặt: \(P=\frac{a+1}{b^2+1}+\frac{b+1}{c^2+1}+\frac{c+1}{a^2+1}\)

Ta có:

\(\frac{a+1}{b^2+1}=a-\frac{ab^2-1}{b^2+1}\ge a-\frac{ab^2-1}{2b}=a-\frac{ab}{2}+\frac{1}{2b}\)

Tương tự ta có:

\(\frac{b+1}{c^2+1}\ge b-\frac{bc}{2}+\frac{1}{2c},\frac{c+1}{a^2+1}\ge c-\frac{ca}{2}+\frac{1}{2a}\)

\(\Rightarrow P\ge a+b+c-\frac{ab+bc+ca}{2}+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge3-\frac{\left(a+b+c\right)^2}{6}+\frac{1}{2}\left(\frac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c}\right)\)

\(=3-\frac{9}{6}+\frac{1}{2}.\frac{9}{3}=3\)

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1

2 tháng 10 2018

mấy dạng kiểu này bạn cứ dùng cô-si ngược là ra

3 tháng 2 2018

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\frac{a+1}{b^2+1}=\left(a+1\right)-\frac{ab^2+b^2}{b^2+1}\ge\left(a+1\right)-\frac{ab^2+b^2}{2b}=\left(a+1\right)-\frac{ab+b}{2}\)

Tương tự cho 2 BĐT còn lại rồi cộng theo vế:

\(VT\ge a+b+c+3-\frac{a+b+c+ab+bc+ac}{2}\)

\(\ge a+b+c+3-\frac{a+b+c+\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}{2}\)

\(\ge3+3-\frac{3+\frac{3^2}{3}}{2}=3\)

\("="\Leftrightarrow a=b=c=1\)

17 tháng 3 2016

Ta có: \(a+1-\frac{a+1}{b^2+1}=\frac{ab^2+b^2}{b^2+1}\le\frac{ab^2+b^2}{2b}=\frac{ab}{2}+\frac{b}{2}\) vì \(b^2+1\ge2b\)

nên \(\frac{a+1}{b^2+1}\ge a+1-\frac{b}{2}-\frac{ab}{2}\) Tương tự: 

Vậy ta có: \(VT\ge a+b+c+3-\frac{a+b+c}{2}-\frac{1}{2}\left(ab+bc+ca\right)\)

Vì \(ab+bc+ca\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\frac{9}{3}=3\)

nên \(VT\ge3+\frac{a+b+c}{2}-\frac{1}{2}3=3+\frac{3}{2}-\frac{3}{2}=3=VP\)

NV
15 tháng 2 2020

\(P=\sum\frac{a+1}{b^2+1}=\sum\left(a+1-\frac{b^2\left(a+1\right)}{b^2+1}\right)\ge\sum\left(a+1-\frac{b^2\left(a+1\right)}{2b}\right)=\sum\left(a+1-\frac{1}{2}b\left(a+1\right)\right)\)

\(\Rightarrow P\ge\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)-\frac{1}{2}\left(ab+bc+ca\right)+3\)

\(P\ge\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)-\frac{1}{6}\left(a+b+c\right)^2+3=3\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)