K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

10 tháng 5 2019

\(\Leftrightarrow2+9abc\ge7\left(ab+bc+ca\right)\)(1)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}abc=r\\ab+bc+ca=q\\a+b+c=p\end{matrix}\right.\)

Ta có:\(r\ge\frac{p\left(4q-p^2\right)}{9}\)(cái này bạn gõ schur trên gg là ra)

\(\Leftrightarrow9r\ge4q-1\)

\(\Rightarrow2+9r\ge2+4q-1=1+4q\)

Lại có:\(3q\le p^2=1\)(bạn tự chứng minh)

\(\Rightarrow1+4q\ge3q+4q=7q\)

\(\Rightarrow2+9r\ge7q\left(đpcm\right)\)

"="\(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)

8 tháng 2 2020

Cách 1:

BĐT \(\Leftrightarrow7\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\le2\left(a+b+c\right)^3+9abc\)

\(VP-VT=\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2+\left(b+c\right)\left(b-c\right)^2+\left(c+a\right)\left(c-a\right)^2\ge0\)

Ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

Cách 2:

Đặt \(\left(a+b+c;ab+bc+ca;abc\right)=\left(3u;3v^2;w^3\right)\) thì 3u = 1. Chú ý \(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\ge\left(ab+bc+ca\right)\Rightarrow3u^2\ge3v^2\Rightarrow u^2\ge v^2\)

Cần chứng minh: \(21v^2\le2+9w^3\Leftrightarrow63uv^2\le54u^3+9w^3\)

\(RHS-LHS=9\left(w^3+3u^3-4uv^2\right)+27u\left(u^2-v^2\right)\ge0\)

Đúng theo BĐT Schur bậc 3.

P/s: Em không chắc ở cách 2.

10 tháng 4 2021

Một bài bất đẳng thức khá đặc trưng với phương pháp đổi biến p,q,r. Mình sẽ phiên từ lời giải đổi biến sang biến đổi tương đương nhé. 
\(ab+bc+ca\le\dfrac{2}{7}+\dfrac{9abc}{7}\\ \Leftrightarrow7\left(ab+bc+ca\right)\left(a+b+c\right)\le2\left(a+b+c\right)^3+9abc\\ \Leftrightarrow7\left(a^2b+a^2c+b^2c+b^2a+c^2a+c^2b+3abc\right)\le2\left(a^3+b^3+c^3+3a^2b+3a^2c+3b^2c+3b^2a+3c^2a+3c^2b+6abc\right)+9abc\\ \Leftrightarrow2a^3+2b^3+2c^3\ge a^2b+a^2c+b^2c+b^2a+c^2a+c^2b\left(1\right)\)Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Cosi cho cặp 3 số dương ta có:

\(a^3+a^3+b^3\ge3a^2b;b^3+b^3+c^3\ge3b^2c;c^3+c^3+a^3\ge3c^2a\\ \Rightarrow a^3+b^3+c^3\ge a^2b+b^2c+c^2a\)

Tương tự : \(a^3+b^3+c^3\ge a^2c+b^2a+c^2b\)

Suy ra (1) được chứng minh

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1/3 

---- Tick cho mình với ----- 

27 tháng 8 2017

bài 1

<=> \(\frac{bc}{a\left(a+b+c\right)+bc}\)

sử dụng tiếp cauchy sharws

Bài 2: đặt a=x/y, b=y/x, c=z/x

17 tháng 6 2019

Ta có:\(\sqrt{\frac{bc}{a+bc}}=\sqrt{\frac{bc}{a\left(a+b\right)+c\left(a+b\right)}}\)

\(=\sqrt{\frac{bc}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{b}{a+b}+\frac{c}{a+c}\right)\) (Áp dụng BĐT AM-GM)

Tương tự với hai BĐT còn lại và cộng theo vế ta thu được đpcm.

20 tháng 11 2018

Ta có: \(a^2+3=\left(a+b\right)\left(a+c\right)\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(VT=\dfrac{a}{a^2+7}+\dfrac{b}{b^2+7}+\dfrac{c}{c^2+7}\le\sum\dfrac{a}{4\sqrt{a^2+3}}=\sum\dfrac{a}{4\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\)

\(\le\sum\dfrac{a}{4}.\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{a+c}\right)=\sum\dfrac{1}{8}\left(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{a+b}\right)=\dfrac{3}{8}\)

Dấu = xảy ra khi a=b=c=1

P/s:\(\sum\limits_{x,y,z}x=x+y+z\) :Tổng hoán vị

20 tháng 11 2018

Akai Haruma giúp em với !!!