K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

15 tháng 9 2021

\(a+b+c=3\\ \Leftrightarrow a\left(b+c+2\right)=ab+ac+a+b+c+1=\left(a+1\right)\left(b+c+1\right)\)

Tương tự:

\(b\left(c+a+2\right)=\left(b+1\right)\left(a+c+1\right)\\ c\left(a+b+2\right)=\left(c+1\right)\left(a+b+1\right)\)

Áp dụng BĐT cosi:

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(a+1\right)\left(b+c+1\right)\le\dfrac{\left(a+1+b+c+1\right)^2}{2}=\dfrac{2^2}{2}=2\\\left(b+1\right)\left(a+c+1\right)\le\dfrac{\left(b+1+a+c+1\right)^2}{2}=\dfrac{2^2}{2}=2\\\left(c+1\right)\left(a+b+1\right)\le\dfrac{\left(c+1+a+b+1\right)^2}{2}=\dfrac{2^2}{2}=2\end{matrix}\right.\)

Cộng vế theo vế 2 BĐT trên:

\(\Leftrightarrow\sqrt{a\left(b+c+2\right)}+\sqrt{b\left(c+a+2\right)}+\sqrt{c\left(a+b+2\right)}\le2+2+2=6\)

Dấu \("="\Leftrightarrow a=b=c=1\)

 

 

15 tháng 9 2021

anh oi, tại sao chỗ a(b + c + 2) = ab + ac + a + b + c + 1 được ạ? :<

26 tháng 6 2017

bạn ơi thử coi lại cái đề bài đi, hình như phải là a,b,c < 9 thì mới có lí hơn đấy.

22 tháng 5 2023

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki:

\(\sqrt{\left(a^2+c^2\right)\left(b^2+c^2\right)}\ge\sqrt{\left(ac+bc\right)^2}=ac+bc\)

CMTT : \(\sqrt{\left(a^2+d^2\right)\left(b^2+d^2\right)}\ge ad+bd\)

Ta có :\(\sqrt{\left(a^2+c^2\right)\left(b^2+c^2\right)}+\sqrt{\left(a^2+d^2\right)\left(b^2+d^2\right)}\ge ac+bc+ad+bd=\left(a+b\right)\left(c+d\right)\)

22 tháng 5 2023

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki:

(�2+�2)(�2+�2)≥(��+��)2=��+��

CMTT : (�2+�2)(�2+�2)≥��+��

Ta có :(�2+�2)(�2+�2)+(�2+�2)(�2+�2)≥��+��+��+��=(�+�)(�+�)

NV
27 tháng 7 2021

Đặt vế trái là P:

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki:

\(\sqrt{\left(a+b\right)\left(c+a\right)}\ge\sqrt{\left(\sqrt{ac}+\sqrt{ab}\right)^2}=\sqrt{ab}+\sqrt{ac}\)

Tương tự với 2 biểu thức còn lại, ta được:

\(P\le\dfrac{a}{a+\sqrt{ab}+\sqrt{ac}}+\dfrac{b}{b+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}}+\dfrac{c}{c+\sqrt{ac}+\sqrt{bc}}\)

\(P\le\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}+\dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}+\dfrac{\sqrt{c}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}=1\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

Bạn tham khảo ở đây nhé.

https://olm.vn/hoi-dap/detail/96898674827.html

AH
Akai Haruma
Giáo viên
3 tháng 11 2019

Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:

\(a^3+1=(a+1)(a^2-a+1)\leq \left(\frac{a+1+a^2-a+1}{2}\right)^2=\left(\frac{a^2+2}{2}\right)^2\)

\(b^3+1\leq \left(\frac{b^2+2}{2}\right)^2\)

\(\Rightarrow \sqrt{(a^3+1)(b^3+1)}\leq \frac{(a^2+2)(b^2+2)}{4}\)

\(\Rightarrow \frac{a^2}{\sqrt{(a^3+1)(b^3+1)}}\geq \frac{4a^2}{(a^2+2)(b^2+2)}\)

Hoàn toàn tương tự với các phân thức còn lại:

\(\Rightarrow \text{VT}\geq \underbrace{\frac{4a^2}{(a^2+2)(b^2+2)}+\frac{4b^2}{(b^2+2)(c^2+2)}+\frac{4c^2}{(c^2+2)(a^2+2)}}_{M}\)

Ta cần CM \(M\geq \frac{4}{3}\)

\(\Leftrightarrow \frac{a^2(c^2+2)+b^2(a^2+2)+c^2(b^2+2)}{(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)}\geq \frac{1}{3}\)

\(\Leftrightarrow 3(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)+6(a^2+b^2+c^2)\geq (a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)\)

\(\Leftrightarrow 3(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)+6(a^2+b^2+c^2)\geq (abc)^2+2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)+4(a^2+b^2+c^2)+8\)

\(\Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2(a^2+b^2+c^2)\geq 72\)

Điều này luôn đúng do theo BĐT AM-GM thì: \(\left\{\begin{matrix} a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\geq 3\sqrt[3]{(abc)^4}=3\sqrt[3]{8^4}=48\\ 2(a^2+b^2+c^2)\geq 6\sqrt[3]{(abc)^2}=6\sqrt[3]{8^2}=24\end{matrix}\right.\)

Do đó ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=2$