K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

7 tháng 3 2022

\(a+b=1\Rightarrow a=\dfrac{1}{2}+x;b=\dfrac{1}{2}+y\left(x+y=0\right)\)

có: \(A=a\left(a^2+2b\right)+b\left(b^2-a\right)=a^3+b^3+ab=a^2+b^2\\ =\left(\dfrac{1}{2}+x\right)^2+\left(\dfrac{1}{2}+y\right)^2=\dfrac{1}{2}+x^2+y^2\ge\dfrac{1}{2}\)

\(\Rightarrow A_{min}=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow x=y=0\Leftrightarrow a=b=\dfrac{1}{2}\)

7 tháng 3 2022

\(a+b=1\)

\(\Rightarrow a^2+2ab+b^2=1\)

\(\Rightarrow\left(a^2+b^2\right)+2ab=1\)

\(\Rightarrow2ab+2ab\le1\) (do \(a^2+b^2\ge2ab\))

\(\Rightarrow ab\le\dfrac{1}{4}\)

\(A=a\left(a^2+2b\right)+b\left(b^2-a\right)\)

\(=a^3+2ab+b^3-ab\)

\(=a^3+b^3+ab\)

\(=\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)+ab\)

\(=1^3-3ab+ab=1-2ab\ge1-2.\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{2}\)

\(A_{min}=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow a=b=\dfrac{1}{2}\)

 

NV
21 tháng 8 2021

\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\) ; \(\forall a;b;c\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)

\(\Rightarrow ab+bc+ca\le1\)

\(\Rightarrow P_{max}=1\) khi \(a=b=c\)

Lại có:

\(\left(a+b+c\right)^2\ge0\) ; \(\forall a;b;c\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow ab+bc+ca\ge-\dfrac{a^2+b^2+c^2}{2}=-\dfrac{1}{2}\)

\(P_{min}=-\dfrac{1}{2}\) khi \(a+b+c=0\)

NV
18 tháng 8 2021

\(9=3a^2+2b^2+2bc+2c^2=\left(a+b+c\right)^2+2a^2+b^2+c^2-2a\left(b+c\right)\)

\(\Rightarrow9\ge\left(a+b+c\right)^2+2a^2+\dfrac{1}{2}\left(b+c\right)^2-2a\left(b+c\right)\)

\(\Rightarrow9\ge\left(a+b+c\right)^2+\dfrac{1}{2}\left(2a-b-c\right)^2\ge\left(a+b+c\right)^2\)

\(\Rightarrow-3\le a+b+c\le3\)

\(T_{max}=3\) khi \(a=b=c=1\)

\(T_{min}=-3\) khi \(a=b=c=-1\)

18 tháng 8 2021

con cảm ơn thầy ah.

AH
Akai Haruma
Giáo viên
13 tháng 12 2023

A.

$a^2+4b^2+9c^2=2ab+6bc+3ac$

$\Leftrightarrow a^2+4b^2+9c^2-2ab-6bc-3ac=0$

$\Leftrightarrow 2a^2+8b^2+18c^2-4ab-12bc-6ac=0$

$\Leftrightarrow (a^2+4b^2-4ab)+(a^2+9c^2-6ac)+(4b^2+9c^2-12bc)=0$

$\Leftrightarrow (a-2b)^2+(a-3c)^2+(2b-3c)^2=0$

$\Rightarrow a-2b=a-3c=2b-3c=0$

$\Rightarrow A=(0+1)^{2022}+(0-1)^{2023}+(0+1)^{2024}=1+(-1)+1=1$

 

AH
Akai Haruma
Giáo viên
13 tháng 12 2023

B.

$x^2+2xy+6x+6y+2y^2+8=0$

$\Leftrightarrow (x^2+2xy+y^2)+y^2+6x+6y+8=0$

$\Leftrightarrow (x+y)^2+6(x+y)+9+y^2-1=0$

$\Leftrightarrow (x+y+3)^2=1-y^2\leq 1$ (do $y^2\geq 0$ với mọi $y$)

$\Rightarrow -1\leq x+y+3\leq 1$

$\Rightarrow -4\leq x+y\leq -2$

$\Rightarrow 2020\leq x+y+2024\leq 2022$

$\Rightarrow A_{\min}=2020; A_{\max}=2022$

28 tháng 12 2019

a) x2 + 1 ≤ (x - 2)2 ⇔ x2 + 1 ≤ x2 - 4x + 4 ⇔ 4x ≤ 3

⇔ x ≤ 3/4

Vậy: x ≤ 3/4

b) a, b > 0

Ta có: a + b = 1 suy ra: (a + b)2 = 1 ⇒ a2 + 2ab + b2 = 1 (1)

Mặt khác (a - b)2 ≥ 0 với mọi a, b ⇒ a2 - 2ab + b2 ≥ 0 (2)

Cộng (1) và (2) vế theo vế, ta được:

2a2 + 2b2 ≥ 1 ⇒ 2(a2 + b2) ≥ 1 ⇒ a2 + b2 ≥ 1/2

NV
16 tháng 4 2021

\(a+b\ge a^2+b^2\ge\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2\Rightarrow a+b\le2\)

\(\Rightarrow2\ge a+b\ge2\sqrt{ab}\Rightarrow ab\le1\)

Xét \(Q=\dfrac{a}{a+1}+\dfrac{b}{b+1}=\dfrac{a\left(b+1\right)+b\left(a+1\right)}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}=\dfrac{a+b+2ab}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}\)

\(Q=\dfrac{a+b+ab+ab}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}\le\dfrac{a+b+ab+1}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}=\dfrac{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}=1\)

\(\Rightarrow P\le2020+1^{2021}=2021\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=1\)

22 tháng 7 2018

a) Rút gọn M = -6ab(-2b + a). Tính được M = 60.

b) Rút gọn M = 6xy – 7. Tính được N = -10.